4) No instante mostrado, o comprimento da barra AB está sendo
diminuído a uma taxa constante de 0,2 m/s e a lança está sendo
abaixada na taxa constante de 0,08 rad/s. Determine (a) a velocidade
do ponto B, (b) a aceleração do ponto B.

Question

Accepted Answer

Aqui está a solução para o problema:

### (a) Velocidade do ponto B:

A velocidade do ponto B pode ser determinada considerando as duas componentes de movimento: a contração da barra AB e a rotação da lança.

1.  **Velocidade devido à contração da barra AB:**

A barra AB está diminuindo a uma taxa de 0,2 m/s. Portanto, a velocidade devido à contração é:

$v_{contração} = -0.2 \, 	ext{m/s}$ (negativo indica contração)
2.  **Velocidade devido à rotação da lança:**

A lança está abaixando a uma taxa de 0,08 rad/s. A velocidade devido à rotação é dada por:

$v_{rotação} = r \cdot \omega$

Onde:

*   $r = 6 \, 	ext{m}$ (comprimento da barra AB)
    *   $\omega = 0.08 \, 	ext{rad/s}$

$v_{rotação} = 6 \cdot 0.08 = 0.48 \, 	ext{m/s}$

3.  **Componentes da velocidade total:**

A velocidade total do ponto B pode ser expressa em termos de componentes horizontal e vertical.

*   **Componente horizontal:**

$v_{Bx} = v_{contração} \cdot \cos(30^\circ) - v_{rotação} \cdot \sin(30^\circ)$

$v_{Bx} = -0.2 \cdot \cos(30^\circ) - 0.48 \cdot \sin(30^\circ)$

$v_{Bx} = -0.2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0.48 \cdot \frac{1}{2}$

$v_{Bx} = -0.1\sqrt{3} - 0.24$

$v_{Bx} \approx -0.1732 - 0.24 = -0.4132 \, 	ext{m/s}$
    *   **Componente vertical:**

$v_{By} = v_{contração} \cdot \sin(30^\circ) + v_{rotação} \cdot \cos(30^\circ)$

$v_{By} = -0.2 \cdot \sin(30^\circ) + 0.48 \cdot \cos(30^\circ)$

$v_{By} = -0.2 \cdot \frac{1}{2} + 0.48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$v_{By} = -0.1 + 0.24\sqrt{3}$

$v_{By} \approx -0.1 + 0.24 \cdot 1.732 = -0.1 + 0.4157 = 0.3157 \, 	ext{m/s}$

4.  **Magnitude da velocidade total:**

A magnitude da velocidade total é:

$v_B = \sqrt{v_{Bx}^2 + v_{By}^2}$

$v_B = \sqrt{(-0.4132)^2 + (0.3157)^2}$

$v_B = \sqrt{0.1707 + 0.0997}$

$v_B = \sqrt{0.2704} \approx 0.52 \, 	ext{m/s}$

### (b) Aceleração do ponto B:

A aceleração do ponto B pode ser determinada considerando as componentes de aceleração devido à contração da barra AB e à rotação da lança.

1.  **Aceleração devido à contração da barra AB:**

Como a taxa de contração é constante, a aceleração devido à contração é zero.

$a_{contração} = 0 \, 	ext{m/s}^2$
2.  **Aceleração devido à rotação da lança:**

Como a taxa de rotação é constante, a aceleração angular é zero, e a aceleração tangencial devido à rotação é zero. No entanto, há uma aceleração centrípeta.

$a_{centrípeta} = r \cdot \omega^2$

$a_{centrípeta} = 6 \cdot (0.08)^2 = 6 \cdot 0.0064 = 0.0384 \, 	ext{m/s}^2$

3.  **Componentes da aceleração total:**

*   **Componente horizontal:**

$a_{Bx} = -a_{centrípeta} \cdot \sin(30^\circ)$

$a_{Bx} = -0.0384 \cdot \sin(30^\circ)$

$a_{Bx} = -0.0384 \cdot \frac{1}{2} = -0.0192 \, 	ext{m/s}^2$
    *   **Componente vertical:**

$a_{By} = -a_{centrípeta} \cdot \cos(30^\circ)$

$a_{By} = -0.0384 \cdot \cos(30^\circ)$

$a_{By} = -0.0384 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.03325 \, 	ext{m/s}^2$

4.  **Magnitude da aceleração total:**

$a_B = \sqrt{a_{Bx}^2 + a_{By}^2}$

$a_B = \sqrt{(-0.0192)^2 + (-0.03325)^2}$

$a_B = \sqrt{0.00036864 + 0.0011055625}$

$a_B = \sqrt{0.0014742025} \approx 0.0384 \, 	ext{m/s}^2$

**Respostas:**

*   **(a) Velocidade do ponto B:** $v_B \approx 0.52 \, 	ext{m/s}$
*   **(b) Aceleração do ponto B:** $a_B \approx 0.0384 \, 	ext{m/s}^2$

4) No instante mostrado, o comprimento da barra AB está send...

No instante mostrado, o comprimento da barra AB está sendo diminuído a uma taxa constante de 0,2 m/s e a lança está sendo abaixada na taxa constante de 0,08 rad/s. Determine (a) a velocidade do ponto B, (b) a aceleração do ponto B.

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