4. Quantos números reais inteiros existem entre as raízes da equação x² - 2x - 15 = 0?

5. Veja estas equações:
x² - 12x = 85
x² + 51 = 20x
Essas equações têm uma raiz real comum. Determine a soma das raízes não comuns.

6. Uma das raízes da equação 4x² - 21x + 20 = 0 é um número fracionário. Qual é a soma dos termos dessa fração? (A fração deve ser simplificada.)

Question

4. Quantos números reais inteiros existem entre as raízes da equação x² - 2x - 15 = 0?

5. Veja estas equações:
x² - 12x = 85
x² + 51 = 20x
Essas equações têm uma raiz real comum. Determine a soma das raízes não comuns.

6. Uma das raízes da equação 4x² - 21x + 20 = 0 é um número fracionário. Qual é a soma dos termos dessa fração? (A fração deve ser simplificada.)

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver as questões.

### Questão 4

A equação é $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Para encontrar as raízes, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Aqui, $a = 1$, $b = -2$ e $c = -15$.

Calculando o discriminante:

$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $$

As raízes são:

$$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5 $$

$$ x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 $$

Os números inteiros entre -3 e 5 são: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

**Resposta: 7**

### Questão 5

As equações são:

1. $x^2 - 12x = 85$
2. $x^2 + 51 = 20x$

Primeiro, vamos rearranjar as equações:

1. $x^2 - 12x - 85 = 0$
2. $x^2 - 20x + 51 = 0$

Vamos encontrar uma raiz comum. Subtraindo as duas equações:

$(x^2 - 12x - 85) - (x^2 - 20x + 51) = 0$

$$ 8x - 136 = 0 $$

$$ x = 17 $$

Substituindo $x = 17$ em uma das equações para verificar:

Na primeira equação:

$$ 17^2 - 12 \cdot 17 = 289 - 204 = 85 $$

Agora, calculamos as outras raízes:

Para a primeira equação:

$$ x^2 - 12x - 85 = 0 $$

$$ (x - 17)(x + 5) = 0 $$

Raízes: $x = 17$ e $x = -5$

Para a segunda equação:

$$ x^2 - 20x + 51 = 0 $$

$$ (x - 17)(x - 3) = 0 $$

Raízes: $x = 17$ e $x = 3$

A soma das raízes não comuns é $-5 + 3 = -2$.

**Resposta: -2**

### Questão 6

A equação é $4x^2 - 21x + 20 = 0$.

Usando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

$$ a = 4, \, b = -21, \, c = 20 $$

$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 20 = 441 - 320 = 121 $$

As raízes são:

$$ x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{8} = \frac{21 + 11}{8} = \frac{32}{8} = 4 $$

$$ x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{8} = \frac{21 - 11}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} $$

A soma dos termos da fração $\frac{5}{4}$ é $5 + 4 = 9$.

**Resposta: 9**

4. Quantos números reais inteiros existem entre as raízes da...

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