4. Situaçőes envolvendo o sistema de capitalização a juros compostos utilizam uma funçåo exponencial, em que o tempo se encontra no expoente. Nesses casos, quando são conhecidas as demais variáveis e o objetivo é encontrar o valor do tempo do investimento, é necessário lidar com o logaritmo. Considere que o tempo de duplicaçăo para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrađo resolvendo a equaçăo $ e^{t}=2 $, onde ré a taxa unitária e fé o tempo. Se um investimento rende a uma taxa de $ 15 \% $ de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo (anos) ele duplicara?
A. 4,8 .
B. 4,7 .
C. 4,6 .
D. 4,5 .
E. 4,4 .

Question

Accepted Answer

Para encontrar o tempo necessário para que um investimento duplique quando os juros são compostos continuamente, podemos usar a fórmula de capitalização contínua: $A = Pe^{rt}$, onde:
- $A$ é o valor futuro do investimento,
- $P$ é o valor principal (inicial),
- $r$ é a taxa de juros anual (na forma decimal),
- $t$ é o tempo em anos,
- $e$ é a base dos logaritmos naturais ($\approx 2.71828$).

Queremos encontrar o tempo $t$ para o qual o investimento duplica, ou seja, $A = 2P$. Substituindo $A$ por $2P$ na equação, temos:
$$2P = Pe^{rt}$$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $P$:
$$2 = e^{rt}$$

Dado que a taxa de juros anual é de $15\%$, temos $r = 0.15$. Substituindo $r$ na equação, obtemos:
$$2 = e^{0.15t}$$

Para resolver essa equação em relação a $t$, usamos logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) de ambos os lados da equação, temos:
$$\ln(2) = \ln(e^{0.15t})$$

Usando a propriedade do logaritmo que diz que $\ln(e^x) = x$, a equação se torna:
$$\ln(2) = 0.15t$$

Agora, isolamos $t$:
$$t = \frac{\ln(2)}{0.15}$$

Calculando o valor de $\ln(2)$ (que é aproximadamente $0.6931$) e dividindo por $0.15$, temos:
$$t = \frac{0.6931}{0.15} \approx 4.6207$$

Portanto, o tempo necessário para que o investimento duplique, com uma taxa de juros de $15\%$ ao ano, compostos continuamente, é aproximadamente $4,6$ anos.

A resposta correta é:
C. 4,6.

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