4) Um ponto material realiza um movimento no plano, tal que suas coordenadas são dadas pelas equações: x = 2 + 6t e y = 5 + 8t, com x e y medidos em metros e t em segundos. Determine: a) a velocidade do ponto material; b) a equação da trajetória descrita pelo ponto relacionando as coordenadas x e y.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, temos as equações paramétricas do movimento de um ponto material no plano:

$$ x = 2 + 6t $$
$$ y = 5 + 8t $$

Vamos determinar:

### a) A velocidade do ponto material

A velocidade em cada direção é dada pela derivada da posição em relação ao tempo $ t $.

- Velocidade na direção $ x $: 
  $$ v_x = \frac{dx}{dt} = 6 \, \text{m/s} $$

- Velocidade na direção $ y $: 
  $$ v_y = \frac{dy}{dt} = 8 \, \text{m/s} $$

A magnitude da velocidade (velocidade resultante) é dada por:

$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{m/s} $$

### b) A equação da trajetória

Para encontrar a equação da trajetória, eliminamos o parâmetro $ t $ das equações.

Da equação para $ x $:

$$ t = \frac{x - 2}{6} $$

Substituímos na equação para $ y $:

$$ y = 5 + 8\left(\frac{x - 2}{6}\right) $$

Simplificando:

$$ y = 5 + \frac{8}{6}(x - 2) $$
$$ y = 5 + \frac{4}{3}(x - 2) $$
$$ y = 5 + \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} $$
$$ y = \frac{4}{3}x + \left(5 - \frac{8}{3}\right) $$
$$ y = \frac{4}{3}x + \frac{15}{3} - \frac{8}{3} $$
$$ y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} $$

Portanto, a equação da trajetória é:

$$ y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} $$

4) Um ponto material realiza um movimento no plano, tal que ...

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