4. Uma carga Pé aplicada em um pino de aço que foi inserido em um elemento de madeira curto preso em um teto, como mostra a figura. O limite de resistência à tração da madeira utilizada é de 80 MPa e
11 MPa em cisalhamento, ao passo que a resistência do aço é 207 MPa em cisalhamento.
Sabendo que b = 40 mm, c = 56 mm e d = 14 mm, determine a carga P para um coeficiente de segurança global igual a 3,2.

12
P

50,8 mm

P
d
12
b

Question

4. Uma carga Pé aplicada em um pino de aço que foi inserido em um elemento de madeira curto preso em um teto, como mostra a figura. O limite de resistência à tração da madeira utilizada é de 80 MPa e
11 MPa em cisalhamento, ao passo que a resistência do aço é 207 MPa em cisalhamento.
Sabendo que b = 40 mm, c = 56 mm e d = 14 mm, determine a carga P para um coeficiente de segurança global igual a 3,2.

12
P

50,8 mm

P
d
12
b

Accepted Answer

Aqui está a solução passo a passo para determinar a carga P, considerando os critérios de resistência da madeira e do pino de aço, e aplicando o coeficiente de segurança fornecido:

1. **Resistência da Madeira à Tração:**
   - A área de tração na madeira é dada por $ A_{tração} = b \cdot 50.8 \, \text{mm} $.
   - A força máxima que a madeira pode suportar em tração é $ F_{tração} = \sigma_{madeira} \cdot A_{tração} $, onde $ \sigma_{madeira} = 80 \, \text{MPa} $.
   - Portanto, $ F_{tração} = 80 \, \text{MPa} \cdot (40 \, \text{mm} \cdot 50.8 \, \text{mm}) = 162560 \, \text{N} $.

2. **Resistência da Madeira ao Cisalhamento:**
   - A área de cisalhamento na madeira é dada por $ A_{cisalhamento} = 2 \cdot c \cdot 50.8 \, \text{mm} $ (considerando os dois lados do elemento de madeira).
   - A força máxima que a madeira pode suportar em cisalhamento é $ F_{cisalhamento} = \tau_{madeira} \cdot A_{cisalhamento} $, onde $ \tau_{madeira} = 11 \, \text{MPa} $.
   - Portanto, $ F_{cisalhamento} = 11 \, \text{MPa} \cdot (2 \cdot 56 \, \text{mm} \cdot 50.8 \, \text{mm}) = 62780.8 \, \text{N} $.

3. **Resistência do Pino de Aço ao Cisalhamento:**
   - A área de cisalhamento no pino é dada por $ A_{pino} = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 $, onde $ d = 14 \, \text{mm} $.
   - A força máxima que o pino pode suportar em cisalhamento é $ F_{pino} = \tau_{aço} \cdot A_{pino} $, onde $ \tau_{aço} = 207 \, \text{MPa} $.
   - Portanto, $ F_{pino} = 207 \, \text{MPa} \cdot \pi \cdot \left(\frac{14 \, \text{mm}}{2}\right)^2 = 31848.8 \, \text{N} $.

4. **Carga Máxima Permitida sem Coeficiente de Segurança:**
   - A carga máxima que o sistema pode suportar sem considerar o coeficiente de segurança é o menor valor entre $ F_{tração} $, $ F_{cisalhamento} $ e $ F_{pino} $.
   - Neste caso, $ F_{min} = \min(162560 \, \text{N}, 62780.8 \, \text{N}, 31848.8 \, \text{N}) = 31848.8 \, \text{N} $.

5. **Aplicação do Coeficiente de Segurança:**
   - O coeficiente de segurança global é 3.2. Portanto, a carga máxima permitida $ P $ é dada por $ P = \frac{F_{min}}{3.2} $.
   - $ P = \frac{31848.8 \, \text{N}}{3.2} = 9952.75 \, \text{N} $.

Portanto, a carga $ P $ que pode ser aplicada com um coeficiente de segurança de 3.2 é aproximadamente 9952.75 N.

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