4. (Unifesp) Uma lente convergente pode servir para formar uma imagem virtual, direita, maior e mais afastada do que o próprio objeto. Uma lente empregada dessa maneira é chamada lupa, e é utilizada para observar, com mais detalhes, pequenos objetos ou superfícies. Um perito criminal utiliza uma lupa de distância focal igual a 4,0 cm e fator de ampliação da imagem igual a 3,0 para analisar vestígios de adulteração de um dos números de série identificador, de $ 0,7 \mathrm{~cm} $ de altura, tipados em um motor de um automóvel.
a) A que distância do número tipado no motor o perito deve posicionar a lente para proceder sua análise nas condições descritas?
b) Em relação à lente, onde se forma a imagem do número analisado? Qual o tamanho da imagem obtida?

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, utilizaremos as equações da óptica geométrica relacionadas a lentes convergentes.

### Parte A: Distância do Objeto à Lente

A ampliação (ou aumento) linear $A$ é dada por:
$$A = \frac{i}{o}$$

Onde:
- $A$ é o fator de ampliação,
- $i$ é a altura da imagem,
- $o$ é a altura do objeto.

O enunciado informa que o fator de ampliação $A$ é igual a 3,0. Isso significa que a imagem é 3 vezes maior que o objeto.

A distância focal $f$ de uma lente é relacionada com a distância do objeto $p$ e a distância da imagem $q$ pela equação de Gauss:
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$$

Para uma imagem virtual, direita e maior que o objeto formada por uma lente convergente, o objeto deve estar localizado entre o foco e a lente, ou seja, $p < f$.

Além disso, sabemos que a ampliação também pode ser expressa como:
$$A = \frac{q}{p}$$

Como $A = 3$, temos:
$$3 = \frac{q}{p}$$
$$q = 3p$$

Substituindo na equação de Gauss:
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{3p}$$
$$\frac{1}{4} = \frac{1}{p} + \frac{1}{3p}$$
$$\frac{1}{4} = \frac{4}{3p}$$
$$p = \frac{4 \times 3}{4}$$
$$p = 3 \, \text{cm}$$

Portanto, o perito deve posicionar a lente a 3 cm do número tipado no motor para proceder sua análise nas condições descritas.

### Parte B: Posição e Tamanho da Imagem

Já determinamos que $q = 3p$, e com $p = 3 \, \text{cm}$, temos:
$$q = 3 \times 3 = 9 \, \text{cm}$$

Isso significa que a imagem se forma a 9 cm da lente, no lado oposto ao objeto.

Para encontrar o tamanho da imagem ($i$), usamos a relação de ampliação:
$$A = \frac{i}{o}$$

Onde $o = 0,7 \, \text{cm}$ (altura do objeto). Como $A = 3$, temos:
$$3 = \frac{i}{0,7}$$
$$i = 3 \times 0,7$$
$$i = 2,1 \, \text{cm}$$

Assim, a imagem do número analisado se forma a 9 cm da lente, e o tamanho da imagem obtida é de 2,1 cm.

4. (Unifesp) Uma lente convergente pode servir para formar u...

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