4. Em um dia de treinamento, dois amigos, Alberto e Bernardo, decidern dar voltas consecutivas em um circuito de $ 1000 \mathrm{~m} $ de comprimento, partindo simultaneamente de um mesmo ponto, porém movendo-se em sentidos opostos. Alberto caminha no sentido horário e Bernardo corre no sentido anti-horário, com velocidade três vezes maior do que a de Alberto. Os dois mantêm suas velocidades escalares constantes.
Após o início desse treinamento, no instante em que ocorrer o terceiro encontro entre os dois, Alberto e Bernardo terä percorrido, respectivamente,

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos considerar que a velocidade de Alberto é $v$ e a de Bernardo é $3v$, dado que a velocidade de Bernardo é três vezes maior que a de Alberto. Como eles partem do mesmo ponto mas em sentidos opostos num circuito fechado de $1000 \mathrm{~m}$, os encontros ocorrem quando a soma das distâncias percorridas por ambos é um múltiplo do comprimento do circuito.

A distância total percorrida por ambos até o primeiro encontro é $1000 \mathrm{~m}$, pois é a primeira vez que a soma das distâncias percorridas iguala o comprimento do circuito. No momento do encontro, a razão das distâncias percorridas por Alberto e Bernardo é $1:3$, pois suas velocidades mantêm essa proporção. Assim, podemos calcular a distância percorrida por Alberto até o primeiro encontro como:

$$ \frac{1}{1+3} \times 1000 = \frac{1}{4} \times 1000 = 250 \mathrm{~m} $$

E por Bernardo como:

$$ \frac{3}{1+3} \times 1000 = \frac{3}{4} \times 1000 = 750 \mathrm{~m} $$

Para encontrar a distância percorrida até o terceiro encontro, precisamos entender que cada encontro subsequente ocorre após ambos completarem uma volta adicional no circuito. Isso significa que, para cada volta completa (1000 m), eles se encontram uma vez. Portanto, após três encontros, ambos terão completado um número de voltas que, somadas, resulta em três vezes o comprimento do circuito.

Até o terceiro encontro, a soma das distâncias percorridas será $3 \times 1000 = 3000 \mathrm{~m}$. Mantendo a proporção de $1:3$ para as distâncias percorridas por Alberto e Bernardo, respectivamente, podemos dividir a distância total da seguinte forma:

Distância percorrida por Alberto até o terceiro encontro:

$$ \frac{1}{1+3} \times 3000 = \frac{1}{4} \times 3000 = 750 \mathrm{~m} $$

Distância percorrida por Bernardo até o terceiro encontro:

$$ \frac{3}{1+3} \times 3000 = \frac{3}{4} \times 3000 = 2250 \mathrm{~m} $$

Portanto, até o instante do terceiro encontro, Alberto terá percorrido $750 \mathrm{~m}$ e Bernardo $2250 \mathrm{~m}$.