41-46 Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
41. $ \lim _{x \rightarrow 1}(2 x+|x-3|) $
43. $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x-1}{\left|2 x^{3}-x^{2}\right|} $

A Definição Precisa de um Limite
19-32 Demonstre cada afirmação usando a definição $ \varepsilon, \delta $ de limite.
$$
2+4 x
$$

Question

41-46 Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
41. $ \lim _{x \rightarrow 1}(2 x+|x-3|) $
43. $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x-1}{\left|2 x^{3}-x^{2}\right|} $

A Definição Precisa de um Limite
19-32 Demonstre cada afirmação usando a definição $ \varepsilon, \delta $ de limite.
$$
2+4 x
$$

Accepted Answer

Vamos resolver os problemas de limites e a demonstração usando a definição $ \varepsilon, \delta $ de limite. ### 41. $ \lim _{x \rightarrow 1}(2 x + |x-3|) $ Primeiro, vamos analisar a função dentro do limite: $$ f(x) = 2x + |x-3| $$ Quando $ x $ se aproxima de 1, temos que considerar o comportamento da função $ |x-3| $: - Para $ x > 3 $, $ |x-3| = x-3 $ - Para $ x < 3 $, $ |x-3| = 3-x $ Como estamos interessados no limite quando $ x $ se aproxima de 1, que é menor que 3, usaremos $ |x-3| = 3-x $: $$ f(x) = 2x + (3 - x) = 2x + 3 - x = x + 3 $$ Portanto, $$ \lim_{x \to 1} (2x + |x-3|) = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4 $$ **Resposta: 4** ### 43. $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x-1}{\left|2x^3 - x^2\right|} $ Vamos analisar o comportamento do numerador e denominador separadamente: Numerador: $ 2x - 1 $ Denominador: $ |2x^3 - x^2| $ Para $ x $ próximo de 0: - $ 2x^3 - x^2 $ também se aproxima de 0. Vamos verificar o sinal do denominador para $ x $ próximo de 0: - Para $ x > 0 $, $ 2x^3 - x^2 $ será negativo. - Para $ x < 0 $, $ 2x^3 - x^2 $ será positivo. Portanto, $ |2x^3 - x^2| = -(2x^3 - x^2) $ para $ x > 0 $: $$ \left|2x^3 - x^2\right| = x^2 - 2x^3 $$ Agora, reescrevendo o limite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x - 1}{x^2 - 2x^3} $$ Dividindo numerador e denominador por $ x^2 $: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x - 1}{x^2}}{\frac{x^2 - 2x^3}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - 2x} $$ Quando $ x \to 0 $: - $ \frac{2}{x} $ tende ao infinito. - $ \frac{1}{x^2} $ tende ao infinito. Portanto, o limite não existe porque o numerador tende ao infinito enquanto o denominador tende a um valor finito. **Resposta: O limite não existe** ### Demonstração usando a definição $ \varepsilon, \delta $ de limite Vamos demonstrar que: $$ \lim_{x \to a} (2 + 4x) = 2 + 4a $$ Pela definição $ \varepsilon, \delta $ de limite, queremos mostrar que para todo $ \varepsilon > 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que se $ 0 < |x - a| < \delta $, então $ |(2 + 4x) - (2 + 4a)| < \varepsilon $. Começamos com a expressão: $$ |(2 + 4x) - (2 + 4a)| = |4x - 4a| = 4|x - a| $$ Queremos que $ 4|x - a| < \varepsilon $: $$ |x - a| < \frac{\varepsilon}{4} $$ Portanto, podemos escolher $ \delta = \frac{\varepsilon}{4} $. Assim, para qualquer $ \varepsilon > 0 $, se $ 0 < |x - a| < \delta = \frac{\varepsilon}{4} $, então $ |(2 + 4x) - (2 + 4a)| < \varepsilon $. Isso completa a demonstração.

41-46 Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, e...

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