41- (UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de cada urna, formamos um número entre 0 e 9.999. Lembrando que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, determine a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 8. a) 1/ 8 b) 1/ 10 c) 1/ 12 d) 1/ 26 e) 1/ 30

Para resolver essa questão, precisamos entender como um número pode ser múltiplo de 8 com base em suas últimas três cifras (ou dígitos). Isso ocorre porque qualquer número inteiro pode ser expresso como a soma de um múltiplo de 1000 (que é sempre múltiplo de 8) e um número formado pelas suas últimas três cifras. Portanto, para que o número total seja múltiplo de 8, as últimas três cifras desse número devem formar um número que é múltiplo de 8.

Vamos analisar as possibilidades para as três últimas cifras:

1. Escolha do último dígito (unidades): Para que um número seja múltiplo de 8, a combinação dos seus três últimos dígitos deve ser múltiplo de 8. Como estamos lidando com números de 0 a 9, temos 10 opções para cada uma das quatro urnas.

2. Combinações dos três últimos dígitos: Precisamos considerar todas as combinações dos dígitos das centenas, dezenas e unidades que resultam em um número múltiplo de 8. Como temos 10 opções para cada dígito, existem $10 \times 10 \times 10 = 1000$ possíveis combinações para os três últimos dígitos.

3. Determinando múltiplos de 8 entre essas combinações: Para encontrar quantas dessas 1000 combinações são múltiplos de 8, podemos proceder da seguinte maneira: sabemos que 1000 não é um múltiplo de 8, mas 1000 pode ser dividido em 125 grupos de 8 com sobra. O mais próximo múltiplo de 8 abaixo de 1000 é 992 (que é $124 \times 8$). Isso significa que há 125 múltiplos de 8 entre 0 e 992. No entanto, este raciocínio nos dá uma ideia do intervalo, mas precisamos de uma abordagem mais precisa para contar exatamente quantos dos números de 000 a 999 são múltiplos de 8.

4. Contagem exata de múltiplos de 8: Para cada conjunto de três dígitos, divide-se por 8 e verifica se há resto. Essa tarefa é tediosa se feita manualmente, mas computacionalmente, pode-se afirmar que existem $125$ múltiplos de 8 entre 0 e 999, já que $8 \times 125 = 1000$.

5. Cálculo da probabilidade: A probabilidade de escolher um número múltiplo de 8 é, portanto, o número de combinações favoráveis (múltiplos de 8) dividido pelo número total de combinações possíveis para as três últimas cifras. Como a primeira cifra (milhar) pode ser qualquer uma das 10 opções e não afeta a divisibilidade por 8 do número, ela é irrelevante para nosso cálculo. Assim, a probabilidade é:

$$P = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$

Portanto, a resposta correta é a alternativa (a) 1/8.