45. Um plano α secciona uma esfera de raio 20 cm. A distância do centro da esfera ao plano α é 12 cm. Calcule a área da secção obtida.
J
Jeovanna
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03/09/24

Question

45. Um plano α secciona uma esfera de raio 20 cm. A distância do centro da esfera ao plano α é 12 cm. Calcule a área da secção obtida.

Accepted Answer

Para calcular a área da seção obtida quando um plano corta uma esfera, podemos usar a fórmula para a área de um círculo:

$$ A = \pi r^2 $$

onde $ r $ é o raio da seção circular.

Dada a distância do centro da esfera ao plano ($ d = 12 \, \text{cm} $) e o raio da esfera ($ R = 20 \, \text{cm} $), podemos encontrar o raio da seção circular ($ r $) usando o teorema de Pitágoras:

$$ r^2 = R^2 - d^2 $$

Substituindo os valores:

$$ r^2 = 20^2 - 12^2 $$
$$ r^2 = 400 - 144 $$
$$ r^2 = 256 $$
$$ r = \sqrt{256} $$
$$ r = 16 \, \text{cm} $$

Agora, calculamos a área da seção:

$$ A = \pi (16)^2 $$
$$ A = 256\pi \, \text{cm}^2 $$

Portanto, a área da seção obtida é $ 256\pi \, \text{cm}^2 $.