5-28 Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

5. y = x + 1, y = 9 - x^2, x = -1, x = 2

6. y = sen x, y = e^x, x = 0, x = π/2

Question

Question image: 5-28 Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

5. y = x + 1, y = 9 - x^2, x = -1, x = 2

6. y = sen x, y = e^x, x = 0, x = π/2

5-28 Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. 5. y = x + 1, y = 9 - x^2, x = -1, x = 2 6. y = sen x, y = e^x, x = 0, x = π/2

J

Jhonathan

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29/08/24

5. y = x + 1, y = 9 - x^2, x = -1, x = 2

6. y = sen x, y = e^x, x = 0, x = π/2

Accepted Answer

Para resolver cada problema, precisamos esboçar a região delimitada pelas curvas e calcular a área.

### Problema 5:
As curvas são $y = x + 1$ e $y = 9 - x^2$, com $x$ variando de $-1$ a $2$.

1. **Interseção das curvas:**
   - $x + 1 = 9 - x^2$
   - $x^2 + x - 8 = 0$
   - Resolvendo a equação quadrática: $(x + 4)(x - 2) = 0$, temos $x = -4$ e $x = 2$.

2. **Intervalo relevante:** De $-1$ a $2$.

3. **Área da região:**
   $$
   \int_{-1}^{2} [(9 - x^2) - (x + 1)] \, dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 - x + 8) \, dx
   $$

4. **Cálculo da integral:**
   $$
   \int (-x^2 - x + 8) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 8x \right]_{-1}^{2}
   $$

5. **Substituindo os limites:**
   $$
   \left(-\frac{8}{3} - 2 + 16\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 8\right)
   $$
   $$
   = \left(\frac{22}{3}\right) - \left(-\frac{25}{6}\right)
   $$
   $$
   = \frac{44}{6} + \frac{25}{6} = \frac{69}{6} = \frac{23}{2}
   $$

### Problema 6:
As curvas são $y = \sin x$ e $y = e^x$, com $x$ variando de $0$ a $\frac{\pi}{2}$.

1. **Área da região:**
   $$
   \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - e^x) \, dx
   $$

2. **Cálculo da integral:**
   $$
   \int (\sin x - e^x) \, dx = \left[-\cos x - e^x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
   $$

3. **Substituindo os limites:**
   $$
   \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - e^{\frac{\pi}{2}}\right) - \left(-\cos(0) - e^0\right)
   $$
   $$
   = \left(0 - e^{\frac{\pi}{2}}\right) - \left(-1 - 1\right)
   $$
   $$
   = -e^{\frac{\pi}{2}} + 2
   $$

Essas são as áreas das regiões delimitadas para cada problema.

5-28 Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. 5. y = x + 1, y = 9 - x^2, x = -1, x = 2 6. y = sen x, y = e^x, x = 0, x = π/2

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