5. A figura mostra a planificação de um paralelepípedo retângulo no qual a unidade das dimensões indicadas é o centímetro. Determine:

a) x, sabendo que a área total do paralelepípedo é igual a 364 cm²;
b) o volume do paralelepípedo para x = 4 cm;
c) a medida da diagonal do paralelepípedo para x = 6 cm.

Question

5. A figura mostra a planificação de um paralelepípedo retângulo no qual a unidade das dimensões indicadas é o centímetro. Determine:

a) x, sabendo que a área total do paralelepípedo é igual a 364 cm²;
b) o volume do paralelepípedo para x = 4 cm;
c) a medida da diagonal do paralelepípedo para x = 6 cm.

Accepted Answer

Para resolver essas questões, vamos usar as propriedades do paralelepípedo retângulo.

### a) Determinar $ x $, sabendo que a área total do paralelepípedo é igual a 364 cm².

A área total $ A $ de um paralelepípedo retângulo é dada por:

$$
A = 2(ab + bc + ac)
$$

Onde $ a = 4 $, $ b = x $, e $ c = 2x $.

Substituindo na fórmula:

$$
364 = 2(4x + x \cdot 2x + 4 \cdot 2x)
$$

$$
364 = 2(4x + 2x^2 + 8x)
$$

$$
364 = 2(2x^2 + 12x)
$$

$$
364 = 4x^2 + 24x
$$

Resolvendo a equação quadrática:

$$
4x^2 + 24x - 364 = 0
$$

Dividindo tudo por 4:

$$
x^2 + 6x - 91 = 0
$$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Onde $ a = 1 $, $ b = 6 $, $ c = -91 $:

$$
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91)}}{2 \cdot 1}
$$

$$
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 364}}{2}
$$

$$
x = \frac{-6 \pm \sqrt{400}}{2}
$$

$$
x = \frac{-6 \pm 20}{2}
$$

As soluções são:

$$
x = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{ou} \quad x = \frac{-26}{2} = -13
$$

Como $ x $ deve ser positivo, $ x = 7 $.

### b) O volume do paralelepípedo para $ x = 4 $ cm.

O volume $ V $ é dado por:

$$
V = a \cdot b \cdot c = 4 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 4) = 4 \cdot 4 \cdot 8 = 128 \, \text{cm}^3
$$

### c) A medida da diagonal do paralelepípedo para $ x = 6 $ cm.

A diagonal $ d $ é dada por:

$$
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
$$

Com $ a = 4 $, $ b = 6 $, $ c = 2 \cdot 6 = 12 $:

$$
d = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2}
$$

$$
d = \sqrt{16 + 36 + 144}
$$

$$
d = \sqrt{196} = 14 \, \text{cm}
$$

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