5. Considere uma máquina térmica operando em um ciclo termodinâmico. Essa máquina recebe 300 J de uma fonte quente cuja temperatura é de 400 K e produz um trabalho de 150 J. Ao mesmo tempo, rejeita 150 J para uma fonte fria que se encontra a 300 K. Prove que a análise termodinâmica da máquina térmica descrita revela que o ciclo proposto é um motor térmico no qual a Primeira Lei é atendida, mas a Segunda Lei é violada.

Question

Accepted Answer

Para analisar se o ciclo proposto é um motor térmico que atende à Primeira Lei da Termodinâmica, mas viola a Segunda Lei, vamos seguir os seguintes passos:

### Primeira Lei da Termodinâmica

A Primeira Lei da Termodinâmica, também conhecida como Princípio da Conservação da Energia, pode ser expressa como:

$$ Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = W $$

onde:
- $ Q_{\text{in}} $ é o calor recebido pela máquina térmica.
- $ Q_{\text{out}} $ é o calor rejeitado pela máquina térmica.
- $ W $ é o trabalho realizado pela máquina térmica.

Substituindo os valores fornecidos:

$$ Q_{\text{in}} = 300 \, \text{J} $$
$$ Q_{\text{out}} = 150 \, \text{J} $$
$$ W = 150 \, \text{J} $$

Vamos verificar a Primeira Lei:

$$ 300 \, \text{J} - 150 \, \text{J} = 150 \, \text{J} $$

Portanto, a Primeira Lei da Termodinâmica é atendida, pois a energia é conservada.

### Segunda Lei da Termodinâmica

A Segunda Lei da Termodinâmica afirma que a eficiência de uma máquina térmica real deve ser menor que a eficiência de uma máquina térmica reversível (máquina de Carnot) operando entre as mesmas duas temperaturas. A eficiência de Carnot ($ \eta_{\text{Carnot}} $) é dada por:

$$ \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}} $$

onde:
- $ T_{\text{c}} $ é a temperatura da fonte fria.
- $ T_{\text{h}} $ é a temperatura da fonte quente.

Substituindo os valores fornecidos:

$$ T_{\text{c}} = 300 \, \text{K} $$
$$ T_{\text{h}} = 400 \, \text{K} $$

Calculando a eficiência de Carnot:

$$ \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25 $$

Ou seja, a eficiência máxima teórica (de Carnot) é 25%.

Agora, vamos calcular a eficiência da máquina térmica descrita:

$$ \eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} = \frac{150 \, \text{J}}{300 \, \text{J}} = 0.5 $$

Ou seja, a eficiência da máquina térmica proposta é 50%.

### Conclusão

A eficiência da máquina térmica proposta é 50%, o que é maior do que a eficiência máxima teórica de 25% para uma máquina operando entre as temperaturas de 400 K e 300 K. Isso significa que a máquina térmica proposta viola a Segunda Lei da Termodinâmica, pois nenhuma máquina térmica real pode ter uma eficiência maior do que a eficiência de Carnot para as mesmas temperaturas.

Portanto, a análise termodinâmica revela que o ciclo proposto é um motor térmico no qual a Primeira Lei é atendida, mas a Segunda Lei é violada.

5. Considere uma máquina térmica operando em um ciclo termod...

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