5. Em um levantamento entre 100 estudantes sobre cursos de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os 3 idiomas.

a) Quantos estudantes não estudam qualquer desses idiomas?

b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

Question

Question image: 5. Em um levantamento entre 100 estudantes sobre cursos de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os 3 idiomas.

a) Quantos estudantes não estudam qualquer desses idiomas?

b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

5. Em um levantamento entre 100 estudantes sobre cursos de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os 3 idiomas. a) Quantos estudantes não estudam qualquer desses idiomas? b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

A

Ataíse

Feita pelo app

19/08/24

a) Quantos estudantes não estudam qualquer desses idiomas?

b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão.

Seja:
- $ I $: conjunto dos que estudam inglês
- $ F $: conjunto dos que estudam francês
- $ E $: conjunto dos que estudam espanhol

Os dados são:
- $|I| = 41$
- $|F| = 29$
- $|E| = 26$
- $|I \cap F| = 15$
- $|F \cap E| = 8$
- $|I \cap E| = 19$
- $|I \cap F \cap E| = 5$

a) Quantos estudantes não estudam qualquer desses idiomas?

Usando o princípio da inclusão-exclusão para encontrar $|I \cup F \cup E|$:

$$
|I \cup F \cup E| = |I| + |F| + |E| - |I \cap F| - |F \cap E| - |I \cap E| + |I \cap F \cap E|
$$

Substituindo os valores:

$$
|I \cup F \cup E| = 41 + 29 + 26 - 15 - 8 - 19 + 5 = 59
$$

Portanto, o número de estudantes que não estudam qualquer desses idiomas é:

$$ 
100 - 59 = 41 
$$

b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

Para encontrar os que estudam apenas um idioma, calculamos:

- Apenas inglês: $|I| - |I \cap F| - |I \cap E| + |I \cap F \cap E| = 41 - 15 - 19 + 5 = 12$
- Apenas francês: $|F| - |I \cap F| - |F \cap E| + |I \cap F \cap E| = 29 - 15 - 8 + 5 = 11$
- Apenas espanhol: $|E| - |I \cap E| - |F \cap E| + |I \cap F \cap E| = 26 - 19 - 8 + 5 = 4$

Portanto, o número total de estudantes que estudam apenas um desses idiomas é:

$$ 
12 + 11 + 4 = 27 
$$

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