5. O campo elétrico de uma onda eletromagnética oscila na direção y e o vetor de poynting é dado por:
$$
\mathrm{S}(x, I)=\left(100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right) \operatorname{sen}^{2}\left\{10 x-\left(2 \times 10^{2}\right)!\backslash\right.
$$

Onde $ x $ é dado em metros e $ t $ em segundos. (a) Qual a direçalo de propagay̧lo da onda? (b) Ache o comprimento da onda e a frequência. (c) Encontre os campos elétricos e magnéticos. (d) Calcule a intensidade da onda.

Question

5. O campo elétrico de uma onda eletromagnética oscila na direção y e o vetor de poynting é dado por:
$$
\mathrm{S}(x, I)=\left(100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right) \operatorname{sen}^{2}\left\{10 x-\left(2 \times 10^{2}\right)!\backslash\right.
$$

Onde $ x $ é dado em metros e $ t $ em segundos. (a) Qual a direçalo de propagay̧lo da onda? (b) Ache o comprimento da onda e a frequência. (c) Encontre os campos elétricos e magnéticos. (d) Calcule a intensidade da onda.

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

### (a) Direção de propagação da onda

O vetor de Poynting $\mathbf{S}$ representa a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética e aponta na direção de propagação da onda. A expressão dada para $\mathbf{S}$ é:

$$
\mathrm{S}(x, t) = \left(100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right) \sin^2\left(10 x - 200 t\right)
$$

Observamos que o argumento da função seno é $10 x - 200 t$. Isso indica que a onda está se propagando na direção positiva do eixo $x$.

### (b) Comprimento de onda e frequência

A forma geral da função de onda é $\sin(kx - \omega t)$, onde $k$ é o número de onda e $\omega$ é a frequência angular.

Comparando com $\sin(10 x - 200 t)$:
- $k = 10 \, \text{m}^{-1}$
- $\omega = 200 \, \text{s}^{-1}$

O comprimento de onda $\lambda$ é dado por:

$$
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, \text{m}
$$

A frequência $f$ é dada por:

$$
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{200}{2\pi} = \frac{100}{\pi} \approx 31.83 \, \text{Hz}
$$

### (c) Campos elétricos e magnéticos

Para encontrar os campos elétrico ($\mathbf{E}$) e magnético ($\mathbf{B}$), usamos as relações entre a intensidade da onda, o campo elétrico máximo $E_0$, e o campo magnético máximo $B_0$.

A intensidade média $I$ de uma onda eletromagnética é dada por:

$$
I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2
$$

Onde:
- $c$ é a velocidade da luz no vácuo ($3 \times 10^8 \, \text{m/s}$)
- $\epsilon_0$ é a permissividade do vácuo ($8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$)

Dado que a intensidade média é $100 \, \text{W/m}^2$:

$$
100 = \frac{1}{2} \cdot 3 \times 10^8 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \cdot E_0^2
$$

Resolvendo para $E_0$:

$$
E_0^2 = \frac{2 \cdot 100}{3 \times 10^8 \cdot 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{200}{2.655 \times 10^{-3}} = 7.53 \times 10^4
$$

$$
E_0 = \sqrt{7.53 \times 10^4} \approx 274.5 \, \text{V/m}
$$

O campo magnético $B_0$ é relacionado ao campo elétrico por:

$$
B_0 = \frac{E_0}{c}
$$

$$
B_0 = \frac{274.5}{3 \times 10^8} \approx 9.15 \times 10^{-7} \, \text{T}
$$

Portanto, os campos são:

$$
\mathbf{E}(x, t) = E_0 \sin(10 x - 200 t) \hat{y} \approx 274.5 \sin(10 x - 200 t) \hat{y} \, \text{V/m}
$$

$$
\mathbf{B}(x, t) = B_0 \sin(10 x - 200 t) \hat{z} \approx 9.15 \times 10^{-7} \sin(10 x - 200 t) \hat{z} \, \text{T}
$$

### (d) Intensidade da onda

A intensidade da onda já foi dada no problema como $100 \, \text{W/m}^2$, e confirmamos isso ao calcular os campos elétricos e magnéticos.

Portanto, a intensidade média da onda é:

$$
I = 100 \, \text{W/m}^2
$$

5. O campo elétrico de uma onda eletromagnética oscila na di...

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