5. Para apagar os focos $ \mathrm{A} $ e $ \mathrm{B} $ de um incêndio, que estavam a uma distância de $ 30 \mathrm{~m} $ um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco $ \mathrm{A} $, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco $ \mathrm{B} $, de temperatura menos elevada. Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é:

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos definir as posições dos focos $ \mathrm{A} $ e $ \mathrm{B} $ no plano cartesiano. Suponhamos que o foco $ \mathrm{A} $ esteja na posição $ (0, 0) $ e o foco $ \mathrm{B} $ esteja na posição $ (30, 0) $.

Seja $ P(x, y) $ a posição de um bombeiro. A condição dada no problema é que a distância do bombeiro ao foco $ \mathrm{A} $ (denotada por $ d_A $) seja o dobro da distância ao foco $ \mathrm{B} $ (denotada por $ d_B $). Matematicamente, isso pode ser expresso como:

$$
d_A = 2d_B
$$

As distâncias $ d_A $ e $ d_B $ podem ser expressas pelas fórmulas:

$$
d_A = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
$$
d_B = \sqrt{(x - 30)^2 + y^2}
$$

Substituindo $ d_A $ e $ d_B $ na condição dada:

$$
\sqrt{x^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x - 30)^2 + y^2}
$$

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:

$$
x^2 + y^2 = 4((x - 30)^2 + y^2)
$$

Expandindo e simplificando:

$$
x^2 + y^2 = 4(x^2 - 60x + 900 + y^2)
$$
$$
x^2 + y^2 = 4x^2 - 240x + 3600 + 4y^2
$$
$$
x^2 + y^2 = 4x^2 - 240x + 3600 + 4y^2
$$
$$
x^2 + y^2 = 4x^2 - 240x + 3600 + 4y^2
$$

Agrupando os termos semelhantes e simplificando:

$$
x^2 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 240x + 3600
$$
$$
0 = 3x^2 + 3y^2 - 240x + 3600
$$
$$
0 = x^2 + y^2 - 80x + 1200
$$

Completando o quadrado para $ x $:

$$
x^2 - 80x + y^2 + 1200 = 0
$$
$$
(x - 40)^2 - 1600 + y^2 + 1200 = 0
$$
$$
(x - 40)^2 + y^2 = 400
$$

Essa equação representa uma circunferência de raio $ 20 $ metros centrada em $ (40, 0) $. Assim, a maior distância entre dois bombeiros seria o diâmetro dessa circunferência, que é $ 40 $ metros.

Portanto, a maior distância que dois bombeiros poderiam ter entre eles é **40 metros**.

5. Para apagar os focos , de temperatura menos elevada. Nest...

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