5. (PUCPR) O conjunto domínio de f(x) = arcsen(2x - 3) está contido no intervalo a) b) [-1, 1] c) [0, 1] d) [1, 2] e) 6. (MACKENZIE) O valor de tg arcsen a) √2 b) c) 3√2 d) 2√2 e) 7. (ESPCEX) Sendo M = arctg(x), N = arctg e P = tg(M-N), o valor de 30P para x = 15 é a) b) c) 45 d) 224 e) 225 8. (UFF) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao inter- valo [0, π] e arctg denota a função inversa da função tangente restrita ao intervalo a) Calcule arccos cos b) Calcule sen[arctg(-1)]. c) Verifique que sen[arccos(x)] = √1-x² para todo x ∈ [-1, 1]. 9. (FGV) Sendo p =e (p + 1) - (q + 1) = 2, então a medida de arctg(p) + arctg(q), em radianos, é a) d) e) 10. (INTEGRADO MEDICINA) Considere a função definida por f(x) = arctg(x)-+√2-x.0 domínio dessa função é o conjunto a) (1, 2). b) [1, 2]. c) {x ∈ IR x > 2). d) {x ∈ IR x <-2). e) IR.
C
Cath
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28/04/25

Question

5. (PUCPR) O conjunto domínio de f(x) = arcsen(2x - 3) está contido no intervalo
a)

b) [-1, 1]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e)

6. (MACKENZIE) O valor de tg arcsen
a) √2

b)

c) 3√2
d) 2√2
e)

7. (ESPCEX) Sendo M = arctg(x), N = arctg e P = tg(M-N), o valor de 30P para x = 15 é
a)

b)
c) 45
d) 224
e) 225

8. (UFF) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao inter-
valo [0, π] e arctg denota a função inversa da função tangente restrita ao intervalo
a) Calcule arccos cos

b) Calcule sen[arctg(-1)].
c) Verifique que sen[arccos(x)] = √1-x² para todo x ∈ [-1, 1].

9. (FGV) Sendo p =e (p + 1) - (q + 1) = 2, então a medida de arctg(p) + arctg(q), em radianos, é
a)

d)
e)

10. (INTEGRADO MEDICINA) Considere a função definida por f(x) = arctg(x)-+√2-x.0
domínio dessa função é o conjunto
a) (1, 2).
b) [1, 2].
c) {x ∈ IR x > 2).
d) {x ∈ IR x <-2).
e) IR.

Accepted Answer

Aqui estão as soluções para as questões apresentadas:

5.  **Resposta: d**

Para determinar o domínio da função $f(x) = \arcsen(2x - 3)$, precisamos garantir que o argumento da função arcsen esteja dentro do intervalo $[-1, 1]$. Portanto, devemos ter:

$$-1 \leq 2x - 3 \leq 1$$

Adicionando 3 a todos os lados da desigualdade, obtemos:

$$2 \leq 2x \leq 4$$

Dividindo todos os lados por 2, obtemos:

$$1 \leq x \leq 2$$

Portanto, o domínio da função é o intervalo $[1, 2]$.

6.  **Resposta: a**

Para calcular $	an\left[\arcsen\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}ight)ight]$, vamos primeiro encontrar o seno e o cosseno do ângulo cujo arcseno é $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Seja $	heta = \arcsen\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}ight)$. Então, $\sin(	heta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Podemos usar a identidade trigonométrica $\sin^2(	heta) + \cos^2(	heta) = 1$ para encontrar $\cos(	heta)$:

$$\cos^2(	heta) = 1 - \sin^2(	heta) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}ight)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$

Assim, $\cos(	heta) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Agora, podemos calcular a tangente de $	heta$:

$$	an(	heta) = \frac{\sin(	heta)}{\cos(	heta)} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} = 2\sqrt{2}$$

Portanto, $	an\left[\arcsen\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}ight)ight] = 2\sqrt{2}$.

7.  **Resposta: d**

Dado que $M = \arctan(x)$, $N = \arctan\left(\frac{1}{x}ight)$, e $P = 	an(M - N)$, queremos encontrar o valor de $30P$ para $x = 15$.

Primeiro, vamos encontrar $M - N$:

$$M - N = \arctan(x) - \arctan\left(\frac{1}{x}ight)$$

Sabemos que $\arctan(x) - \arctan\left(\frac{1}{x}ight) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}ight) = \frac{\pi}{2}$ para $x > 0$.

Então, $M - N = \frac{\pi}{2}$.

Agora, podemos encontrar $P = 	an(M - N) = 	an\left(\frac{\pi}{2}ight)$. No entanto, $	an\left(\frac{\pi}{2}ight)$ é indefinido.

Vamos usar a fórmula da tangente da diferença:

$$	an(M - N) = \frac{	an(M) - 	an(N)}{1 + 	an(M)	an(N)} = \frac{x - \frac{1}{x}}{1 + x\cdot\frac{1}{x}} = \frac{x - \frac{1}{x}}{1 + 1} = \frac{x - \frac{1}{x}}{2}$$

Para $x = 15$, temos:

$$P = \frac{15 - \frac{1}{15}}{2} = \frac{\frac{225 - 1}{15}}{2} = \frac{\frac{224}{15}}{2} = \frac{224}{30}$$

Agora, podemos encontrar $30P$:

$$30P = 30 \cdot \frac{224}{30} = 224$$

Portanto, o valor de $30P$ para $x = 15$ é 224.

8.  a) Para calcular $\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{5}ight)ight)$, como $\frac{\pi}{5}$ está no intervalo $[0, \pi]$, temos:

$$\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{5}ight)ight) = \frac{\pi}{5}$$

b) Para calcular $\sin(\arctan(-1))$, sabemos que $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Então:

$$\sin(\arctan(-1)) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}ight) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

c) Para verificar que $\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ para todo $x \in [-1, 1]$, seja $	heta = \arccos(x)$. Então, $\cos(	heta) = x$. Usando a identidade trigonométrica $\sin^2(	heta) + \cos^2(	heta) = 1$, temos:

$$\sin^2(	heta) = 1 - \cos^2(	heta) = 1 - x^2$$

Como $	heta = \arccos(x)$ e $0 \leq 	heta \leq \pi$, então $\sin(	heta) \geq 0$. Portanto:

$$\sin(	heta) = \sqrt{1 - x^2}$$

Assim, $\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}$.

9.  **Resposta: c**

Dado que $p = \frac{1}{2}$ e $(p + 1)(q + 1) = 2$, podemos substituir o valor de $p$ na segunda equação:

$$\left(\frac{1}{2} + 1ight)(q + 1) = 2$$

$$\left(\frac{3}{2}ight)(q + 1) = 2$$

$$q + 1 = \frac{4}{3}$$

$$q = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$$

Agora, queremos encontrar $\arctan(p) + \arctan(q) = \arctan\left(\frac{1}{2}ight) + \arctan\left(\frac{1}{3}ight)$. Usando a fórmula da soma de arco tangente:

$$\arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a + b}{1 - ab}ight)$$

$$\arctan\left(\frac{1}{2}ight) + \arctan\left(\frac{1}{3}ight) = \arctan\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}ight) = \arctan\left(\frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}}ight) = \arctan\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}ight) = \arctan(1)$$

Como $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, temos:

$$\arctan(p) + \arctan(q) = \frac{\pi}{4}$$

10. **Resposta: a**

Para determinar o domínio da função $f(x) = \sqrt{\arctan(x) - \frac{\pi}{4}} + \sqrt{2 - x}$, precisamos garantir que ambas as raízes quadradas tenham argumentos não negativos.

Primeiro, para a raiz quadrada $\sqrt{\arctan(x) - \frac{\pi}{4}}$, devemos ter:

$$\arctan(x) - \frac{\pi}{4} \geq 0$$

$$\arctan(x) \geq \frac{\pi}{4}$$

Como a função arctan é crescente, podemos aplicar a função tangente a ambos os lados:

$$x \geq 	an\left(\frac{\pi}{4}ight) = 1$$

Segundo, para a raiz quadrada $\sqrt{2 - x}$, devemos ter:

$$2 - x \geq 0$$

$$x \leq 2$$

Combinando as duas condições, temos $1 \leq x \leq 2$. No entanto, como as raízes quadradas estão no denominador, devemos garantir que o denominador não seja zero. Portanto, $x$ não pode ser 1 nem 2.

Assim, o domínio da função é o intervalo $(1, 2)$.