5. Qual é o número de diagonais de um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos adicionada à soma das medidas dos ângulos externos resulta em $ 2340^{\circ} $ ? Que polígono é esse?
МАТЕМАТІССА 227

Question

Accepted Answer

Para determinar o número de diagonais de um polígono e identificar qual é o polígono, vamos seguir os seguintes passos:

1. **Soma das medidas dos ângulos internos e externos:**
   
   Sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono com $ n $ lados é dada por:
   $$
   S_{\text{int}} = (n-2) \cdot 180^\circ
   $$
   
   A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre $ 360^\circ $.

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos adicionada à soma das medidas dos ângulos externos é:
   $$
   S_{\text{int}} + S_{\text{ext}} = (n-2) \cdot 180^\circ + 360^\circ
   $$

2. **Igualando à soma dada no problema:**
   
   De acordo com o problema, essa soma é $ 2340^\circ $. Então, temos:
   $$
   (n-2) \cdot 180^\circ + 360^\circ = 2340^\circ
   $$

3. **Resolvendo para $ n $:**
   
   Primeiro, subtraímos $ 360^\circ $ de ambos os lados da equação:
   $$
   (n-2) \cdot 180^\circ = 1980^\circ
   $$
   
   Em seguida, dividimos ambos os lados por $ 180^\circ $:
   $$
   n-2 = \frac{1980^\circ}{180^\circ}
   $$
   $$
   n-2 = 11
   $$
   $$
   n = 13
   $$

4. **Calculando o número de diagonais:**
   
   O número de diagonais $ D $ de um polígono com $ n $ lados é dado por:
   $$
   D = \frac{n(n-3)}{2}
   $$
   
   Substituindo $ n = 13 $:
   $$
   D = \frac{13(13-3)}{2}
   $$
   $$
   D = \frac{13 \cdot 10}{2}
   $$
   $$
   D = \frac{130}{2}
   $$
   $$
   D = 65
   $$

Portanto, o número de diagonais do polígono é $ 65 $ e o polígono é um \textbf{tridecágono} (polígono de 13 lados).

5. Qual é o número de diagonais de um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos adicionada à soma das medidas dos ângulos externos resulta em \( 2340^{\circ} \) ? Que polígono é esse? МАТЕМАТІССА 227

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