5) Resolva a equação exponencial: $ 3^{2 x+2}=27 $
6) Encontre o valor de $ \times $ na equação exponencial : $ 16^{x-5}=16 $
7) Uma criação de coelhos foi iniciada no mês de janeiro de 2020 com 4 coelhos (2 casais) e, durante o decorrer de 10 meses, o número de coelhos duplicou a cada mês. Então qual a quantidade total de coelhos no final de 10 meses?
8) Determine o número de termos da P.G. $ (1,2, \ldots, 256) $.
9) Numa P.G.(Progressão Geométrica) tem-se o $ 6^{\circ} $ termo $ \left(a_{6}\right)=3072 $ e o $ 3^{\circ} $ termo $ \left(a_{3}\right)=48 $. Determine a razão dessa PG.
10) Qual o valor do resgate final, ao final de um BIMESTRE que uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de $ R \$ 15.000 $ reais, à taxa de $ 1 \% $ ao mês?
Fórmula utilizada: $ M=C\left(1+\frac{i}{100}\right)^{t} $

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada uma das questões passo a passo.

### Questão 5
Resolva a equação exponencial: $ 3^{2x + 2} = 27 $.

Primeiro, reescrevemos $ 27 $ como uma potência de $ 3 $:
$$ 27 = 3^3 $$

Assim, a equação fica:
$$ 3^{2x + 2} = 3^3 $$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
$$ 2x + 2 = 3 $$

Resolvendo para $ x $:
$$ 2x = 1 $$
$$ x = \frac{1}{2} $$

### Questão 6
Encontre o valor de $ x $ na equação exponencial: $ 16^{x-5} = 16 $.

Reescrevemos $ 16 $ como uma potência de $ 16 $:
$$ 16 = 16^1 $$

Assim, a equação fica:
$$ 16^{x-5} = 16^1 $$

Igualando os expoentes:
$$ x - 5 = 1 $$

Resolvendo para $ x $:
$$ x = 6 $$

### Questão 7
Uma criação de coelhos foi iniciada no mês de janeiro de 2020 com 4 coelhos (2 casais) e, durante o decorrer de 10 meses, o número de coelhos duplicou a cada mês. Então qual a quantidade total de coelhos no final de 10 meses?

O número de coelhos dobra a cada mês, então temos uma progressão geométrica onde:
- $ a_1 = 4 $
- Razão $ r = 2 $

A fórmula do termo geral de uma P.G. é:
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

Para $ n = 10 $:
$$ a_{10} = 4 \cdot 2^{10-1} $$
$$ a_{10} = 4 \cdot 2^9 $$
$$ a_{10} = 4 \cdot 512 $$
$$ a_{10} = 2048 $$

Então, a quantidade total de coelhos no final de 10 meses é $ 2048 $.

### Questão 8
Determine o número de termos da P.G. $ (1, 2, \ldots, 256) $.

Sabemos que:
- $ a_1 = 1 $
- Último termo $ a_n = 256 $
- Razão $ r = 2 $

A fórmula do termo geral de uma P.G. é:
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

Substituindo os valores conhecidos:
$$ 256 = 1 \cdot 2^{n-1} $$
$$ 256 = 2^{n-1} $$

Sabemos que $ 256 = 2^8 $, então:
$$ 2^{n-1} = 2^8 $$

Igualando os expoentes:
$$ n - 1 = 8 $$
$$ n = 9 $$

Portanto, o número de termos da P.G. é $ 9 $.

### Questão 9
Numa P.G. tem-se o $ 6^\circ $ termo $ (a_6) = 3072 $ e o $ 3^\circ $ termo $ (a_3) = 48 $. Determine a razão dessa PG.

A fórmula do termo geral de uma P.G. é:
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

Para $ a_6 $:
$$ a_6 = a_1 \cdot r^5 = 3072 $$

Para $ a_3 $:
$$ a_3 = a_1 \cdot r^2 = 48 $$

Dividindo as duas equações:
$$ \frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2} = \frac{3072}{48} $$
$$ r^3 = \frac{3072}{48} $$
$$ r^3 = 64 $$
$$ r = \sqrt[3]{64} $$
$$ r = 4 $$

Portanto, a razão dessa P.G. é $ 4 $.

### Questão 10
Qual o valor do resgate final, ao final de um bimestre que uma pessoa investiu, a juros compostos, a quantia de $ R\$ 15.000 $ reais, à taxa de $ 1\% $ ao mês?

Fórmula utilizada: 
$$ M = C \left(1 + \frac{i}{100}\right)^t $$

Onde:
- $ C = 15000 $
- $ i = 1 \% $
- $ t = 2 $ meses

Substituindo os valores:
$$ M = 15000 \left(1 + \frac{1}{100}\right)^2 $$
$$ M = 15000 \left(1 + 0,01\right)^2 $$
$$ M = 15000 \left(1,01\right)^2 $$
$$ M = 15000 \cdot 1,0201 $$
$$ M = 15301,5 $$

Portanto, o valor do resgate final é $ R\$ 15.301,50 $.

5) Resolva a equação exponencial:

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