5) (UC.RS) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o número de arestas desse poliedro é:

a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

Question

5) (UC.RS) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o número de arestas desse poliedro é:

a) 12  b) 8  c) 6  d) 20  e) 4

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos usar algumas propriedades dos poliedros regulares. Um poliedro regular tem todas as suas faces iguais e formadas por polígonos regulares.

A soma dos ângulos internos de um poliedro regular pode ser calculada pela fórmula:

$$
S = (n-2) \cdot 180^\circ
$$

onde $ n $ é o número de lados de cada face.

No caso do problema, a soma dos ângulos internos das faces é $ 1440^\circ $.

Vamos considerar os poliedros regulares possíveis:

1. **Tetraedro**: 4 faces triangulares.
2. **Cubo (ou Hexaedro)**: 6 faces quadradas.
3. **Octaedro**: 8 faces triangulares.
4. **Dodecaedro**: 12 faces pentagonais.
5. **Icosaedro**: 20 faces triangulares.

Vamos verificar qual deles atende à soma dos ângulos internos igual a $ 1440^\circ $.

Para o **cubo**, cada face é um quadrado, então:

$$
S = 6 \cdot 90^\circ = 540^\circ
$$

Para o **dodecaedro**, cada face é um pentágono, então:

$$
S = 12 \cdot 108^\circ = 1296^\circ
$$

Para o **octaedro**, cada face é um triângulo, então:

$$
S = 8 \cdot 60^\circ = 480^\circ
$$

Para o **icosaedro**, cada face é um triângulo, então:

$$
S = 20 \cdot 60^\circ = 1200^\circ
$$

Nenhum desses valores corresponde exatamente a $ 1440^\circ $. Parece que houve uma confusão na formulação ou interpretação do problema, pois os valores não se encaixam nos poliedros regulares conhecidos.

Entretanto, se considerarmos o dodecaedro com ajuste, podemos chegar a um valor próximo, mas não exato. Considerando o contexto, parece que a intenção era o dodecaedro, mas a soma dos ângulos internos está incorreta para qualquer poliedro regular conhecido.

Se houver mais contexto ou uma formulação diferente, isso poderia fornecer mais clareza.

5) (UC.RS) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro re...

(UC.RS) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o número de arestas desse poliedro é:

a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

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