5. (Unicamp-SP) Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de $ \frac{2}{3} $, independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a Alternativa c.
a) $ \frac{2}{3} $.
b) $ \frac{4}{9} $.
c) $ \frac{20}{27} $.
d) $ \frac{16}{81} $.

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos calcular a probabilidade de o atleta vencer o torneio ganhando ao menos duas das três provas. Como as provas são independentes, podemos usar a regra da multiplicação para calcular a probabilidade de cada combinação de vitórias e derrotas, e depois somar as probabilidades dos cenários que resultam em vitória no torneio.

A probabilidade de ganhar uma prova é $ \frac{2}{3} $ e de perder é $ \frac{1}{3} $.

Existem quatro cenários em que o atleta pode vencer o torneio:
1. Ganhar todas as três provas.
2. Ganhar as duas primeiras provas e perder a última.
3. Ganhar a primeira e a última prova, mas perder a segunda.
4. Ganhar a última prova e as duas primeiras.

Vamos calcular a probabilidade para cada cenário:

1. **Ganhar todas as três provas:**
$$ P(GGG) = \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} $$

2. **Ganhar as duas primeiras provas e perder a última:**
$$ P(GGP) = \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{27} $$

3. **Ganhar a primeira e a última prova, mas perder a segunda:**
$$ P(GPG) = \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{27} $$

4. **Ganhar a última prova e as duas primeiras:**
$$ P(PGG) = \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{27} $$

Agora, somamos as probabilidades destes cenários para obter a probabilidade total de vencer o torneio:
$$ P(\text{Vencer o torneio}) = P(GGG) + P(GGP) + P(GPG) + P(PGG) = \frac{8}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{20}{27} $$

Portanto, a alternativa correta é a letra (c) $ \frac{20}{27} $.

5. (Unicamp-SP) Um atleta participa de um torneio composto p...

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