5. (Unicamp-SP) Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de $\frac{2}{3}$, independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a

a) $\frac{2}{3}$
b) $\frac{4}{9}$
c) $\frac{20}{27}$
d) $\frac{16}{81}$

Question

5. (Unicamp-SP) Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de $\frac{2}{3}$, independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a

a) $\frac{2}{3}$
b) $\frac{4}{9}$
c) $\frac{20}{27}$
d) $\frac{16}{81}$

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar o problema:

1. **Probabilidade de ganhar uma prova:** A probabilidade de o atleta ganhar uma prova é $ \frac{2}{3} $.

2. **Provas necessárias para vencer o torneio:** O atleta precisa ganhar pelo menos duas das três provas.

Vamos calcular a probabilidade de o atleta ganhar pelo menos duas provas usando a fórmula da probabilidade binomial.

### Casos possíveis:
- Ganhar 2 provas e perder 1.
- Ganhar todas as 3 provas.

### Cálculo:

1. **Probabilidade de ganhar exatamente 2 provas:**

- Escolher 2 provas para ganhar: $ \binom{3}{2} = 3 $ maneiras.
   - Probabilidade de ganhar 2 provas e perder 1:

$$
   3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right) = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27}
   $$

2. **Probabilidade de ganhar todas as 3 provas:**

$$
   \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}
   $$

3. **Probabilidade total de ganhar pelo menos 2 provas:**

$$
   \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}
   $$

Portanto, a probabilidade de o atleta vencer o torneio é $ \frac{20}{27} $.

**Resposta: c) $\frac{20}{27}$**

5. (Unicamp-SP) Um atleta participa de um torneio composto p...

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