50 Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 2,0 m. A expressão que traduz a variação da posição angular da partícula em função do tempo é:
θ = 4,0 - 2,0 t + 2,0 t² (SI).

50.1. Indique, justificando, qual o tipo de movimento de que a partícula está animada.
50.2. Determine o valor da aceleração angular e o valor da componente tangencial do movimento da partícula.
50.3. Calcule, para o instante t = 1,0 s:
50.3.1. O valor da componente normal da aceleração.
50.3.2. A posição escalar, s, da partícula.
50.3.3. O valor da velocidade angular da partícula.
50.4. Determine em que instante o movimento da partícula muda de sentido.

Question

50 Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 2,0 m. A expressão que traduz a variação da posição angular da partícula em função do tempo é:
θ = 4,0 - 2,0 t + 2,0 t² (SI).

50.1. Indique, justificando, qual o tipo de movimento de que a partícula está animada.
50.2. Determine o valor da aceleração angular e o valor da componente tangencial do movimento da partícula.
50.3. Calcule, para o instante t = 1,0 s:
50.3.1. O valor da componente normal da aceleração.
50.3.2. A posição escalar, s, da partícula.
50.3.3. O valor da velocidade angular da partícula.
50.4. Determine em que instante o movimento da partícula muda de sentido.

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

### Dados:
A equação da posição angular é:
$$
\theta(t) = 4,0 - 2,0t + 2,0t^2
$$

### 50.1. Tipo de Movimento
A função $\theta(t)$ é uma parábola, indicando que a partícula possui movimento uniformemente variado. Isso ocorre porque há um termo quadrático em $t$, que representa aceleração angular constante.

### 50.2. Aceleração Angular e Componente Tangencial
A aceleração angular ($\alpha$) é a segunda derivada de $\theta(t)$ em relação ao tempo:
$$
\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2} = \frac{d}{dt}(4,0 - 2,0t + 2,0t^2) = 4,0 \, \text{rad/s}^2
$$

A componente tangencial da aceleração ($a_t$) é dada por:
$$
a_t = \alpha \cdot r = 4,0 \cdot 2,0 = 8,0 \, \text{m/s}^2
$$

### 50.3. Cálculos para $t = 1,0 \, s$

#### 50.3.1. Componente Normal da Aceleração
A velocidade angular ($\omega$) no instante $t = 1,0 \, s$ é a primeira derivada de $\theta(t)$:
$$
\omega = \frac{d\theta}{dt} = -2,0 + 4,0t
$$
Para $t = 1,0 \, s$:
$$
\omega = -2,0 + 4,0 \cdot 1,0 = 2,0 \, \text{rad/s}
$$

A componente normal da aceleração ($a_n$) é:
$$
a_n = \omega^2 \cdot r = (2,0)^2 \cdot 2,0 = 8,0 \, \text{m/s}^2
$$

#### 50.3.2. Posição Escalar
A posição escalar $s$ é dada por:
$$
s = \theta \cdot r = (4,0 - 2,0 \cdot 1,0 + 2,0 \cdot (1,0)^2) \cdot 2,0 = 8,0 \, \text{m}
$$

#### 50.3.3. Velocidade Angular
Já calculada: $\omega = 2,0 \, \text{rad/s}$

### 50.4. Instante em que o Movimento Muda de Sentido
O movimento muda de sentido quando a velocidade angular $\omega$ se torna zero:
$$
-2,0 + 4,0t = 0 \implies t = 0,5 \, \text{s}
$$

Portanto, o movimento da partícula muda de sentido em $t = 0,5 \, \text{s}$.