51) (M080797H6) Para decorar uma peça que possui o formato de um hexágono regular. um artesão vai anexar uma barra de ferro em suas laterais. A figura I abaixo apresenta a barra de ferro com um ângulo QOP e a peça hexagonal. Nessa figura, a seta curvilínea indica a direção do giro a ser feito $ \ni $ parlir do segmento $ \overline{O Q} $. mantendo $ \overline{O P} $ fixo, para ajustar a barra à lateral da peça, formando o ângulo ROP. como mostrado na figura II.
Figura I
Figura II

Para formar o ângulo ROP representado na figura II, é necessário mover o segmento $ O Q $ em quantos graus em relaçăo ao ponto O?
A) $ 25^{\circ} $.
B) $ 85^{\circ} $.
C) $ 115^{\circ} $
D) $ 145^{\circ} $.

Question

51) (M080797H6) Para decorar uma peça que possui o formato de um hexágono regular. um artesão vai anexar uma barra de ferro em suas laterais. A figura I abaixo apresenta a barra de ferro com um ângulo QOP e a peça hexagonal. Nessa figura, a seta curvilínea indica a direção do giro a ser feito $ \ni $ parlir do segmento $ \overline{O Q} $. mantendo $ \overline{O P} $ fixo, para ajustar a barra à lateral da peça, formando o ângulo ROP. como mostrado na figura II.
Figura I
Figura II

Para formar o ângulo ROP representado na figura II, é necessário mover o segmento $ O Q $ em quantos graus em relaçăo ao ponto O?
A) $ 25^{\circ} $.
B) $ 85^{\circ} $.
C) $ 115^{\circ} $
D) $ 145^{\circ} $.

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos entender a relação entre os ângulos em um hexágono regular e o ângulo que o artesão precisa ajustar.

Um hexágono regular tem todos os seus lados e ângulos internos iguais. A soma dos ângulos internos de um polígono pode ser calculada usando a fórmula $S = (n - 2) \times 180^\circ$, onde $S$ é a soma dos ângulos internos e $n$ é o número de lados do polígono. Para um hexágono ($n = 6$):

$$S = (6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$$

Como um hexágono regular tem todos os ângulos internos iguais, cada ângulo interno é $\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Agora, considerando que $OQ$ e $OP$ são segmentos que formam um ângulo reto inicialmente (conforme sugerido pela descrição de "barra de ferro com um ângulo QOP" e o processo de girar $OQ$ mantendo $OP$ fixo para ajustar à lateral do hexágono), o ângulo $QOP$ inicial é de $90^\circ$.

Para ajustar $OQ$ de forma que se alinhe com a lateral do hexágono, formando o ângulo $ROP$ que é congruente aos ângulos internos do hexágono, o segmento $OQ$ deve ser girado de modo que o ângulo $ROP$ seja igual a $120^\circ$, que é o ângulo interno do hexágono.

Portanto, a mudança no ângulo é a diferença entre o ângulo desejado ($120^\circ$) e o ângulo inicial ($90^\circ$):

$$120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$$

Parece haver um equívoco na formulação da minha explicação, pois não forneci diretamente a resposta correta baseada nas opções. Vamos corrigir isso considerando a descrição do problema e o entendimento de que um hexágono regular tem ângulos internos de $120^\circ$. Se estamos partindo do princípio que a descrição sugere uma configuração inicial diferente ou um entendimento específico sobre o ajuste da barra de ferro, precisamos ajustar o ângulo de acordo com as opções fornecidas.

Dado que as opções fornecidas são $25^\circ$, $85^\circ$, $115^\circ$, e $145^\circ$, e considerando o erro na interpretação inicial, o ajuste correto envolve entender como o ângulo externo ao lado do hexágono se relaciona com o movimento necessário para alinhar a barra.

O ângulo externo de um hexágono regular é o complemento do seu ângulo interno, sendo assim $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Porém, essa informação foi mal interpretada na tentativa de correção direta ao problema proposto.

A verdadeira questão aqui parece envolver um entendimento mais detalhado do processo de ajuste da barra de ferro que não foi claramente explicado na minha tentativa de resposta. Sem a visualização das Figuras I e II mencionadas, assumiu-se incorretamente a posição inicial e final necessárias para o ajuste.

Dado que a pergunta especificamente pergunta quantos graus o segmento $OQ$ precisa ser movido em relação ao ponto $O$ para formar o ângulo $ROP$ e as opções fornecidas, a resposta correta deve alinhar-se com a lógica geométrica aplicável ao contexto de um hexágono regular e ao ajuste descrito.

No entanto, meu raciocínio anterior falhou em conectar corretamente esses pontos, levando a uma conclusão errônea. A resposta correta depende da interpretação exata do movimento descrito e da configuração inicial fornecida pelas figuras, as quais não foram adequadamente consideradas.

Na ausência de detalhes específicos sobre o ângulo QOP inicial e o alinhamento pretendido em ROP, e considerando a falha na minha interpretação, sugiro revisar a descrição do problema para uma análise precisa do movimento angular necessário. Em cenários típicos de ajuste de um objeto para alinhar com as laterais de um hexágono regular, o foco estaria na orientação e no ajuste relativo aos ângulos internos ou externos do hexágono, levando em conta a configuração inicial.

51) (M080797H6) Para decorar uma peça que possui o formato d...

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