54. (FGV-SP) É dada a progressão geométrica infinita (45, 15, 5,...).
a) Ache a soma de seus termos.
b) Obtenha o menor valor de n, de modo que o enésimo termo a_n seja menor que 1. (Adote os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.)

Question

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Para resolver essa questão, vamos abordar cada parte separadamente: ### a) Soma da Progressão Geométrica Infinita A soma $ S $ de uma progressão geométrica infinita é dada pela fórmula: $$ S = \frac{a_1}{1 - q} $$ onde $ a_1 $ é o primeiro termo e $ q $ é a razão da progressão. Na sequência dada: $ 45, 15, 5, \ldots $ - $ a_1 = 45 $ - A razão $ q = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} $ Substituindo na fórmula: $$ S = \frac{45}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{45}{\frac{2}{3}} = 45 \times \frac{3}{2} = 67,5 $$ ### b) Menor valor de $ n $ para que $ a_n < \frac{1}{30} $ O enésimo termo de uma PG é dado por: $$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$ Queremos que $ a_n < \frac{1}{30} $: $$ 45 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{30} $$ Dividindo ambos os lados por 45: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{1350} $$ Aplicando logaritmo em ambos os lados: $$ (n-1) \cdot \log\left(\frac{1}{3}\right) < \log\left(\frac{1}{1350}\right) $$ Sabemos que: $$ \log\left(\frac{1}{3}\right) = -\log(3) = -0,48 $$ $$ \log\left(\frac{1}{1350}\right) = -\log(1350) = -(\log(13,5) + \log(100)) $$ Aproximando: $$ \log(13,5) \approx \log(13) + \log(1,05) \approx \log(10) + \log(1,3) + \log(1,05) $$ $$ \log(10) = 1, \quad \log(1,3) \approx 0,1, \quad \log(1,05) \approx 0,02 $$ Assim, $\log(13,5) \approx 1 + 0,1 + 0,02 = 1,12$. Portanto, $\log(1350) \approx 1,12 + 2 = 3,12$. Então, $$ (n-1) \cdot (-0,48) < -3,12 $$ $$ (n-1) > \frac{3,12}{0,48} $$ $$ n-1 > 6,5 $$ Logo, $ n > 7,5 $. Portanto, o menor valor inteiro de $ n $ é 8.

54. (FGV-SP) É dada a progressão geométrica infinita (45, 15...

(FGV-SP) É dada a progressão geométrica infinita (45, 15, 5,...). a) Ache a soma de seus termos. b) Obtenha o menor valor de n, de modo que o enésimo termo a_n seja menor que 1. (Adote os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.)

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