6. Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apresenta diariamente. A
presença do público se dá em função, principalmente, do preço do ingresso. A
capacidade máxima do teatro é de 800 pessoas e quando o preço do ingresso é R$
90,00, o comparecimento, em média é de 300 pessoas. Dados estatisticos indicam
que a cada R$ 10,00 de redução no preço do ingresso verifica-se, em média, um
aumento de 100 pessoas no público presente.

Com estes dados, calcule a receita máxima, em média, obtida em uma apresentação
musical.

Question

6. Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apresenta diariamente. A
presença do público se dá em função, principalmente, do preço do ingresso. A
capacidade máxima do teatro é de 800 pessoas e quando o preço do ingresso é R$
90,00, o comparecimento, em média é de 300 pessoas. Dados estatisticos indicam
que a cada R$ 10,00 de redução no preço do ingresso verifica-se, em média, um
aumento de 100 pessoas no público presente.

Com estes dados, calcule a receita máxima, em média, obtida em uma apresentação
musical.

Accepted Answer

Claro, vamos resolver este problema passo a passo.

1. **Definir as variáveis:**
   - Seja $ x $ o número de reduções de R$ 10,00 no preço do ingresso.
   - O preço do ingresso será $ 90 - 10x $.
   - O número de pessoas presentes será $ 300 + 100x $.

2. **Definir a função receita:**
   - A receita $ R $ é o produto do preço do ingresso pelo número de pessoas:
     $$
     R(x) = (90 - 10x)(300 + 100x)
     $$

3. **Expandir a função receita:**
   $$
   R(x) = 27000 + 9000x - 3000x - 1000x^2
   $$
   $$
   R(x) = -1000x^2 + 6000x + 27000
   $$

4. **Encontrar o vértice da parábola (ponto de máximo):**
   - A função receita é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, então o vértice representa o ponto de máximo. A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
     $$
     x_v = -\frac{b}{2a}
     $$
     Onde $ a = -1000 $ e $ b = 6000 $.
     $$
     x_v = -\frac{6000}{2(-1000)} = \frac{6000}{2000} = 3
     $$

5. **Calcular o preço do ingresso e o número de pessoas no ponto de máximo:**
   - Preço do ingresso: $ 90 - 10x = 90 - 10(3) = 90 - 30 = 60 $
   - Número de pessoas: $ 300 + 100x = 300 + 100(3) = 300 + 300 = 600 $

6. **Calcular a receita máxima:**
   - $ R_{max} = (60)(600) = 36000 $

Portanto, a receita máxima obtida em uma apresentação musical é de R$ 36.000,00.

**Resposta:** A receita máxima é de R$ 36.000,00.

6. Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apre...

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