6) Calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m², sabendo-se que sua área lateral é igual ao dobro da área da base.

Question

Accepted Answer

Para calcular o volume de um prisma quadrangular regular, precisamos primeiro entender as informações fornecidas:

1. **Área total (A_t)** do prisma: 144 m²
2. **Área lateral (A_l)** é o dobro da área da base (A_b).

Vamos representar a aresta da base quadrada por $ a $.

### Passos para resolver o problema:

1. **Área da base (A_b):**
   $$
   A_b = a^2
   $$

2. **Área lateral (A_l):**
   - O prisma quadrangular regular tem quatro faces laterais, cada uma com área igual à altura $ h $ vezes a aresta da base $ a $.
   $$
   A_l = 4ah
   $$
   - De acordo com o problema, $ A_l = 2A_b $, então:
   $$
   4ah = 2a^2
   $$
   - Simplificando, encontramos a altura $ h $:
   $$
   h = \frac{a}{2}
   $$

3. **Área total (A_t):**
   - A soma da área lateral e duas vezes a área da base:
   $$
   A_t = A_l + 2A_b = 4ah + 2a^2
   $$
   - Substituindo $ A_t = 144 $ e $ h = \frac{a}{2} $:
   $$
   144 = 4a\left(\frac{a}{2}\right) + 2a^2
   $$
   $$
   144 = 2a^2 + 2a^2
   $$
   $$
   144 = 4a^2
   $$
   - Resolvendo para $ a $:
   $$
   a^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad a = 6 \text{ m}
   $$

4. **Altura (h):**
   - Usando $ h = \frac{a}{2} $:
   $$
   h = \frac{6}{2} = 3 \text{ m}
   $$

5. **Volume (V) do prisma:**
   - O volume é dado pelo produto da área da base pela altura:
   $$
   V = A_b \times h = a^2 \times h = 36 \times 3 = 108 \text{ m}^3
   $$

Portanto, o volume do prisma é $ 108 \, \text{m}^3 $.

6) Calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja ...

Calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m², sabendo-se que sua área lateral é igual ao dobro da área da base.

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