6) Considere o hexágono regular ABCDEF inscrito numa circunferência, conforme ilustra a figura a seguir. Descubra a diferença, em cm², entre a área da circunferência e a área do hexágono para raio igual a 18 cm.
I
Isac
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25/11/24

Question

6) Considere o hexágono regular ABCDEF inscrito numa circunferência, conforme ilustra a figura a seguir. Descubra a diferença, em cm², entre a área da circunferência e a área do hexágono para raio igual a 18 cm.

I

Isac

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25/11/24

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos calcular a diferença entre a área da circunferência e a área do hexágono regular inscrito.

1. **Área da circunferência:**

A fórmula para a área da circunferência é:

$$
A_c = \pi r^2
$$

Onde $ r = 18 \, \text{cm} $.

$$
A_c = \pi \times 18^2 = 324\pi \, \text{cm}^2
$$

2. **Área do hexágono regular:**

Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero com lado $ a $ é dada por:

$$
A_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
$$

No caso do hexágono inscrito, o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência, ou seja, $ a = 18 \, \text{cm} $.

$$
A_t = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 18^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 324 = 81\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

Portanto, a área total do hexágono é:

$$
A_h = 6 \times 81\sqrt{3} = 486\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

3. **Diferença entre as áreas:**

$$
\Delta A = A_c - A_h = 324\pi - 486\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

Essa é a diferença entre a área da circunferência e a área do hexágono.