6. Dada a função:

h(x) = \frac{5x + 2}{x^2 - 2x + 1}

(a) Utilize a regra do quociente para calcular \frac{d}{dx} h(x).

(b) Determine o valor da derivada em x = 1.

(c) Para quais valores de x, h'(x) é negativo?

Question

6. Dada a função:

h(x) = \frac{5x + 2}{x^2 - 2x + 1}

(a) Utilize a regra do quociente para calcular \frac{d}{dx} h(x).

(b) Determine o valor da derivada em x = 1.

(c) Para quais valores de x, h'(x) é negativo?

Accepted Answer

Vamos resolver cada item do problema dado:

A função é:

$$
h(x) = \frac{5x + 2}{x^2 - 2x + 1}.
$$

---

### (a) Utilizar a regra do quociente para calcular $\frac{dh(x)}{dx}$:

A regra do quociente é dada por:

$$
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}.
$$

Aqui, temos:
- $f(x) = 5x + 2$,
- $g(x) = x^2 - 2x + 1$.

**Derivadas:**
- $f'(x) = 5$,
- $g'(x) = 2x - 2$.

Substituindo na fórmula:

$$
h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2},
$$

$$
h'(x) = \frac{5(x^2 - 2x + 1) - (5x + 2)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 1)^2}.
$$

Agora, expandimos os termos:

1. $5(x^2 - 2x + 1) = 5x^2 - 10x + 5$,
2. $(5x + 2)(2x - 2) = 10x^2 - 10x - 4x + 4 = 10x^2 - 14x + 4$.

Logo:

$$
h'(x) = \frac{(5x^2 - 10x + 5) - (10x^2 - 14x + 4)}{(x^2 - 2x + 1)^2}.
$$

Simplificando o numerador:

$$
5x^2 - 10x + 5 - 10x^2 + 14x - 4 = -5x^2 + 4x + 1.
$$

Portanto:

$$
h'(x) = \frac{-5x^2 + 4x + 1}{(x^2 - 2x + 1)^2}.
$$

---

### (b) Determinar o valor da derivada em $x = 1$:

Substituímos $x = 1$ em $h'(x)$:

1. O numerador é:
$$
-5(1)^2 + 4(1) + 1 = -5 + 4 + 1 = 0.
$$

2. O denominador é:
$$
(x^2 - 2x + 1)^2 = (1^2 - 2(1) + 1)^2 = (1 - 2 + 1)^2 = 0^2 = 0.
$$

Portanto, o valor de $h'(1)$ não é definido, pois o denominador se anula.

---

### (c) Para quais valores de $x$, $h'(x)$ é negativo?

Para que $h'(x)$ seja negativo, o numerador e o denominador devem ter sinais opostos.

1. O numerador é:
$$
-5x^2 + 4x + 1.
$$

Resolvemos a equação quadrática $-5x^2 + 4x + 1 = 0$ para encontrar as raízes:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
$$

com $a = -5$, $b = 4$, $c = 1$:

$$
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-5)(1)}}{2(-5)},
$$

$$
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-10},
$$

$$
x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{-10},
$$

$$
x = \frac{-4 \pm 6}{-10}.
$$

As raízes são:

$$
x_1 = \frac{-4 + 6}{-10} = \frac{2}{-10} = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1.
$$

O numerador muda de sinal nos intervalos definidos pelas raízes: $(-\infty, -\frac{1}{5})$, $(-\frac{1}{5}, 1)$, $(1, \infty)$.

2. O denominador $(x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^2$ é sempre positivo, exceto em $x = 1$, onde se anula.

**Conclusão:**

$h'(x)$ será negativo onde o numerador for negativo, ou seja, no intervalo $-\frac{1}{5} < x < 1$.

6. Dada a função: h(x) = \frac{5x + 2}{x^2 - 2x + 1} (a) U...

Dada a função:

h(x) = \frac{5x + 2}{x^2 - 2x + 1}

(a) Utilize a regra do quociente para calcular \frac{d}{dx} h(x).

(b) Determine o valor da derivada em x = 1.

(c) Para quais valores de x, h'(x) é negativo?

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