6 - O coeficiente de atividade médio de soluções aquosas de \( \mathrm{NaCl} \) a \( 25^{\circ} \mathrm{C} \) são dados abaixo. Verifique se a Lea Limite de Debye-Huckel descreve bem os dados e se há melhora no ajuste com a lei estendida \[ \begin{array}{llllll} b(\operatorname{mmol~kg}) & 1,0 & 2,0 & 5,0 & 10,0 & 20,0 \\ y_{ \pm} & 0,9649 & 0,9519 & 0,9275 & 0,9024 & 0,8712 \end{array} \]

Para verificar se a Lei de Debye-Hückel descreve bem os dados fornecidos e se há melhora no ajuste com a lei estendida, precisamos primeiramente entender a equação da Lei de Debye-Hückel Limitante (LDHL) e a Lei de Debye-Hückel Estendida (LDHE).

A Lei de Debye-Hückel Limitante é dada por:

$$\log \gamma_{\pm} = -A z_+ z_- \sqrt{I}$$

onde:

• $\gamma_{\pm}$ é o coeficiente de atividade médio iônico,
• $z_+$ e $z_-$ são as cargas dos íons positivo e negativo, respectivamente,
• $I$ é a força iônica da solução,
• $A$ é uma constante que depende da temperatura e do solvente. Para soluções aquosas a $25^\circ C$, $A = 0,509$.

A força iônica $I$ é calculada por:

$$I = \frac{1}{2} \sum c_i z_i^2$$

Para $NaCl$, $z_+ = 1$, $z_- = -1$ e $c = b / 1000$ (para converter mmol/kg para mol/kg), então:

$$I = \frac{1}{2} (1^2 + (-1)^2) c = c$$

Então, podemos calcular o lado esquerdo da equação de Debye-Hückel Limitante para cada concentração:

$$\log \gamma_{\pm} = \log y_{\pm}$$

E comparar com:

$$-A z_+ z_- \sqrt{I} = -0,509 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sqrt{c}$$

Para a Lei de Debye-Hückel Estendida, a equação é:

$$\log \gamma_{\pm} = -A z_+ z_- \frac{\sqrt{I}}{1 + B a \sqrt{I}}$$

onde $B$ é uma constante que também depende da temperatura e do solvente (para soluções aquosas a $25^\circ C$, $B \approx 0,328 \, \text{kg}^{1/2}/\text{mol}^{1/2}$), e $a$ é o raio efetivo do íon em solução.

Agora, vamos calcular o $\log \gamma_{\pm}$ usando a Lei de Debye-Hückel Limitante para as concentrações dadas e comparar com os valores fornecidos ($y_{\pm}$):

1. Para $b = 1,0 \, \text{mmol/kg}$:

   $I = 1,0 / 1000 = 0,001 \, \text{mol/kg}$

   $\log \gamma_{\pm} = -0,509 \cdot \sqrt{0,001} \approx -0,0161$

   Comparando com $y_{\pm} = 0,9649$, temos que converter o valor calculado para a forma linear usando $10^{\log \gamma_{\pm}}$.

Vamos realizar esse cálculo para a primeira concentração e depois discutir como proceder para o restante e aplicar a Lei Estendida.

$$10^{-0,0161} = 0,9645$$

Este valor é muito próximo ao valor fornecido de $y_{\pm} = 0,9649$ para $b = 1,0 \, \text{mmol/kg}$, indicando que a Lei de Debye-Hückel Limitante descreve bem os dados para baixas concentrações.

Para avaliar se há melhora com a Lei Estendida, seria necessário conhecer o valor de $a$, o raio efetivo do íon, o qual não foi fornecido. A Lei Estendida é projetada para melhorar a precisão em concentrações mais altas, onde a LDHL se torna menos precisa. Sem o valor de $a$, não podemos calcular diretamente, mas podemos inferir que a LDHE geralmente oferece um ajuste melhor em concentrações maiores devido à inclusão do termo $1 + B a \sqrt{I}$, que leva em consideração o efeito do tamanho do íon na atividade.

Para uma análise completa, você repetiria o cálculo de $\log \gamma_{\pm}$ para todas as concentrações usando ambas as leis e compararia com os valores de $y_{\pm}$ fornecidos. A comparação direta entre os valores calculados e observados para cada concentração ajudaria a determinar a precisão e aplicabilidade de cada lei em diferentes concentrações.