6. Racionalize o denominador das seguintes expressões.
a) $ \frac{1}{3-\sqrt{6}} $
c) $ \frac{2-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} $
b) $ \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $
d) $ \frac{2-2 \sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} $

Question

Accepted Answer

Para racionalizar o denominador de expressões que contêm raízes quadradas, usamos o processo de multiplicar o numerador e o denominador por um termo que elimine a raiz do denominador. Este termo é frequentemente o conjugado do denominador quando este contém somas ou diferenças envolvendo raízes quadradas.

### a) $ \frac{1}{3-\sqrt{6}} $

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $3+\sqrt{6}$:

$$
\frac{1}{3-\sqrt{6}} \times \frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}} = \frac{3+\sqrt{6}}{(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}
$$

Usamos a identidade notável $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ para simplificar o denominador:

$$
= \frac{3+\sqrt{6}}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3+\sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{3+\sqrt{6}}{3}
$$

### c) $ \frac{2-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} $

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $3-\sqrt{2}$:

$$
\frac{2-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} \times \frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = \frac{(2-\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}
$$

Usamos a identidade notável novamente:

$$
= \frac{6 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8 - 5\sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{8 - 5\sqrt{2}}{7}
$$

### b) $ \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} $

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $\sqrt{5}-\sqrt{3}$:

$$
\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}
$$

Simplificando o denominador:

$$
= \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}-\sqrt{3}
$$

### d) $ \frac{2-2 \sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} $

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $2+\sqrt{2}$:

$$
\frac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \times \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2-2\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}
$$

Simplificando o denominador:

$$
= \frac{4 + 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 2\cdot2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}
$$

Assim, racionalizamos o denominador dessas expressões como solicitado.

6. Racionalize o denominador das seguintes expressões. a)

Racionalize o denominador das seguintes expressões. a) $\frac{1}{3-\sqrt{6}}$ c) $\frac{2-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ b) $\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ d) $\frac{2-2 \sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

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6. Racionalize o denominador das seguintes expressões. a)

Racionalize o denominador das seguintes expressões. a) 13−6\frac{1}{3-\sqrt{6}}3−6​1​ c) 2−23+2\frac{2-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}3+2​2−2​​ b) 25+3\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}5​+3​2​ d) 2−222−2\frac{2-2 \sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}2−2​2−22​​

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Racionalize o denominador das seguintes expressões. a) $\frac{1}{3-\sqrt{6}}$ c) $\frac{2-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ b) $\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ d) $\frac{2-2 \sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$