6. Seja f(x) = cotg x. Calcule.

a) f(x)

b) f'\left(\frac{\pi}{4}\right)

Question

6. Seja f(x) = cotg x. Calcule.

a) f(x)

b) f'\left(\frac{\pi}{4}\right)

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \cot x $ e depois avaliar essa derivada em $ x = \frac{\pi}{4} $.

### a) $ f'(x) $

A derivada da função cotangente é dada por:

$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$

### b) $ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Substituindo $ x = \frac{\pi}{4} $ na derivada:

$$
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\csc^2\left(\frac{\pi}{4}\right)
$$

Sabemos que:

$$
\csc\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}
$$

Portanto:

$$
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -(\sqrt{2})^2 = -2
$$

Assim, a resposta é:

**b) $ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 $**