64. Calcule a área total de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo que suas dimensões são dadas por x cm, (x + 3) cm e (x + 6) cm, com x 0, e a diagonal de uma das faces maiores tem 15 cm de comprimento.

Você produtor
65. Determine a altura (em cm), o comprimento da aresta da base (em cm) e a área total (em cm²) de um prisma regular pentagonal. Em seguida, peça a um colega que calcule a área da base desse prisma. Depois, verifiquem se as resoluções estão corretas.

Question

64. Calcule a área total de um paralelepípedo reto retângulo, sabendo que suas dimensões são dadas por x cm, (x + 3) cm e (x + 6) cm, com x > 0, e a diagonal de uma das faces maiores tem 15 cm de comprimento.

Você produtor
65. Determine a altura (em cm), o comprimento da aresta da base (em cm) e a área total (em cm²) de um prisma regular pentagonal. Em seguida, peça a um colega que calcule a área da base desse prisma. Depois, verifiquem se as resoluções estão corretas.

Accepted Answer

Para resolver o exercício 64, vamos calcular a área total de um paralelepípedo reto retângulo. As dimensões são $x$ cm, $(x + 3)$ cm e $(x + 6)$ cm, com a diagonal de uma das faces maiores sendo 15 cm.

### Passos:

1. **Identificar as faces maiores:**

As faces maiores são aquelas que têm as dimensões $(x + 3)$ e $(x + 6)$.

2. **Usar o teorema de Pitágoras na diagonal:**

A diagonal de uma face maior é dada por:
   $$
   \sqrt{(x + 3)^2 + (x + 6)^2} = 15
   $$

3. **Resolver a equação:**

$$
   (x + 3)^2 + (x + 6)^2 = 225
   $$
   $$
   x^2 + 6x + 9 + x^2 + 12x + 36 = 225
   $$
   $$
   2x^2 + 18x + 45 = 225
   $$
   $$
   2x^2 + 18x - 180 = 0
   $$
   $$
   x^2 + 9x - 90 = 0
   $$

4. **Resolver a equação quadrática:**

Usando a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Onde $a = 1$, $b = 9$, $c = -90$.

$$
   x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 360}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-9 \pm \sqrt{441}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-9 \pm 21}{2}
   $$

Soluções:
   $$
   x = 6 \quad \text{ou} \quad x = -15
   $$

Como $x > 0$, temos $x = 6$.

5. **Calcular a área total:**

Com $x = 6$, as dimensões são 6 cm, 9 cm e 12 cm.

A área total $A$ de um paralelepípedo é dada por:
   $$
   A = 2(ab + ac + bc)
   $$
   Onde $a = 6$, $b = 9$, $c = 12$.

$$
   A = 2(6 \times 9 + 6 \times 12 + 9 \times 12)
   $$
   $$
   A = 2(54 + 72 + 108)
   $$
   $$
   A = 2 \times 234
   $$
   $$
   A = 468 \, \text{cm}^2
   $$

Portanto, a área total do paralelepípedo é $468 \, \text{cm}^2$.

64. Calcule a área total de um paralelepípedo reto retângulo...

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