66. Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de 4 pessoas com:
a) exatamente 3 homens?
b) pelo menos 3 homens?
c) no máximo 1 homem?

Question

Accepted Answer

Para resolver essas questões, usaremos combinações, pois a ordem dos membros da comissão não importa. A fórmula geral para calcular combinações é:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$

onde $n$ é o número total de itens para escolher, $k$ é o número de itens a serem escolhidos, e $n!$ representa o fatorial de $n$, que é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até $n$.

### a) Exatamente 3 homens

Para escolher uma comissão de 4 pessoas com exatamente 3 homens, primeiro escolhemos 3 homens dos 5 disponíveis e depois escolhemos 1 mulher das 6 disponíveis. Assim, o número de maneiras é:

$$C(5, 3) \times C(6, 1)$$

Calculando cada termo separadamente:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$

$$C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$$

Portanto, o número total de maneiras é:

$$10 \times 6 = 60$$

### b) Pelo menos 3 homens

"Pelo menos 3 homens" significa que podemos ter 3 ou 4 homens na comissão. Vamos calcular separadamente e depois somar os resultados.

- Para 3 homens (já calculado em a): 60 maneiras.
- Para 4 homens, escolhemos 4 dos 5 homens e não precisamos escolher mulheres, pois todos os membros serão homens:

$$C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5$$

Somando os dois:

$$60 + 5 = 65$$

### c) No máximo 1 homem

"No máximo 1 homem" significa que podemos ter 0 homens ou 1 homem na comissão.

- Para 0 homens (todos mulheres), escolhemos 4 das 6 mulheres:

$$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$

- Para 1 homem, escolhemos 1 dos 5 homens e 3 das 6 mulheres:

$$C(5, 1) \times C(6, 3) = 5 \times \frac{6!}{3!(6-3)!} = 5 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2} = 5 \times 20 = 100$$

Somando os dois casos:

$$15 + 100 = 115$$

Portanto, as respostas são:

a) 60 maneiras diferentes

b) 65 maneiras diferentes

c) 115 maneiras diferentes

66. Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneira...

Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de 4 pessoas com: a) exatamente 3 homens? b) pelo menos 3 homens? c) no máximo 1 homem?

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