7) (MACK) Um corpo é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade de 8 m/s. Nesse local a resistência do ar é desprezível e a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s². No instante em que a energia cinética desse corpo é igual à metade da que possuía no lançamento, qual é a altura que ele se encontra?

Para resolver essa questão, precisamos usar o conceito de conservação de energia. Inicialmente, a energia cinética do corpo é dada por:

$$E_{c_i} = \frac{1}{2} m v^2$$

onde $v = 8 \, \text{m/s}$.

Quando a energia cinética é igual à metade da inicial, temos:

$$E_{c} = \frac{1}{2} E_{c_i} = \frac{1}{4} m v^2$$

Nesse ponto, a diferença de energia foi convertida em energia potencial gravitacional:

$$E_{p} = E_{c_i} - E_{c} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{4} m v^2 = \frac{1}{4} m v^2$$

A energia potencial gravitacional é dada por:

$$E_{p} = mgh$$

Igualando as duas expressões de energia potencial, temos:

$$mgh = \frac{1}{4} m v^2$$

Podemos simplificar a equação cancelando a massa $m$:

$$gh = \frac{1}{4} v^2$$

Substituindo $g = 10 \, \text{m/s}^2$ e $v = 8 \, \text{m/s}$:

$$10h = \frac{1}{4} \times 64$$ $$10h = 16$$ $$h = \frac{16}{10} = 1,6 \, \text{m}$$

Portanto, a altura em que o corpo se encontra é $1,6 \, \text{m}$.