7. (1.5 ponto) Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de 4 pessoas com:

a. Exatamente 3 homens?

b. Pelo menos 3 homens?

c. No máximo 1 homem?

Question

7. (1.5 ponto) Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de 4 pessoas com:

a. Exatamente 3 homens?

b. Pelo menos 3 homens?

c. No máximo 1 homem?

Accepted Answer

Para resolver a questão, utilizamos combinações. A fórmula para combinação é:

$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

onde $ n $ é o total de elementos e $ k $ é o número de elementos escolhidos.

a. **Exatamente 3 homens:**

Escolhemos 3 homens dentre 5 e 1 mulher dentre 6.

$$
C(5, 3) \times C(6, 1) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \times \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 10 \times 6 = 60
$$

b. **Pelo menos 3 homens:**

Pode ser 3 homens e 1 mulher ou 4 homens e 0 mulheres.

- 3 homens e 1 mulher: $ C(5, 3) \times C(6, 1) = 60 $
- 4 homens e 0 mulheres: $ C(5, 4) \times C(6, 0) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} \times 1 = 5 $

Total: $ 60 + 5 = 65 $

c. **No máximo 1 homem:**

Pode ser 0 homens e 4 mulheres ou 1 homem e 3 mulheres.

- 0 homens e 4 mulheres: $ C(5, 0) \times C(6, 4) = 1 \times \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15 $
- 1 homem e 3 mulheres: $ C(5, 1) \times C(6, 3) = \frac{5!}{1! \cdot 4!} \times \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 5 \times 20 = 100 $

Total: $ 15 + 100 = 115 $

Portanto, as respostas são:

a. **60**

b. **65**

c. **115**

7. (1.5 ponto) Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quan...

(1.5 ponto) Em um grupo há 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma comissão de 4 pessoas com:

a. Exatamente 3 homens?

b. Pelo menos 3 homens?

c. No máximo 1 homem?

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