$ 7^{a} $ ) (PUC-SP) Pretende-se formar uma comissão de 5 membros a partir de um grupo de 10 operários e 5 empresários, de modo que nessa comissão haja pelo menos 2 representantes de cada uma das 2 classes. O total de diferentes comissões que podem ser assim formadas é:
a) 1000
b) 185
c) 19400
d) 1750
e) 1650
$ 8^{a} $ (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?
a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão separadamente:

### Para a $ 7^{a} $ questão:

Para formar uma comissão de 5 membros que inclua pelo menos 2 operários e 2 empresários do grupo de 10 operários e 5 empresários, temos que considerar as seguintes possibilidades para a composição da comissão:
- 2 operários e 3 empresários;
- 3 operários e 2 empresários.

Vamos calcular o número de maneiras de formar a comissão para cada caso:

1. **2 operários e 3 empresários**:
   - Escolher 2 operários de 10: $ \binom{10}{2} $
   - Escolher 3 empresários de 5: $ \binom{5}{3} $
   - Total de maneiras para esta configuração: $ \binom{10}{2} \times \binom{5}{3} $

2. **3 operários e 2 empresários**:
   - Escolher 3 operários de 10: $ \binom{10}{3} $
   - Escolher 2 empresários de 5: $ \binom{5}{2} $
   - Total de maneiras para esta configuração: $ \binom{10}{3} \times \binom{5}{2} $

Calculando os valores:

1. $ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 $
   $ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $
   - Total para esta configuração: $ 45 \times 10 = 450 $

2. $ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 $
   $ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $
   - Total para esta configuração: $ 120 \times 10 = 1200 $

Somando ambas as configurações, obtemos o total de diferentes comissões possíveis: $ 450 + 1200 = 1650 $.

Portanto, a resposta correta é a opção **(e) 1650**.

### Para a $ 8^{a} $ questão:

Quando um professor de Matemática decide premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos com dois livros diferentes, ele pode escolher o primeiro aluno de 42 maneiras e o segundo aluno de 41 maneiras (uma vez que o mesmo aluno não pode ser escolhido duas vezes). Como os livros são diferentes, para cada par de alunos escolhidos, existem 2 maneiras de distribuir os livros (o primeiro aluno pode receber o Livro A ou o Livro B).

O número total de maneiras distintas de premiação é, portanto, $ 42 \times 41 \times 2 $.

Calculando isso, temos:

$$ 42 \times 41 \times 2 = 3444 $$

Portanto, a resposta correta é a opção **(d) 3444**.

(UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para p...

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