7) Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o volume do cone é 24π cm³.

a) 15π cm²
b) 36π cm²
c) 30π cm²
d) 28π cm²

Question

7) Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o volume do cone é 24π cm³.

a) 15π cm²
b) 36π cm²
c) 30π cm²
d) 28π cm²

Accepted Answer

**Resposta: C) 30π cm²**

### Explicação:

Sabemos que o cone é equilátero, ou seja, a geratriz (g) é igual ao dobro do raio (r). Além disso, o volume do cone é dado por:

$$
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
$$

Onde:
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura,
- $ g $ é a geratriz.

#### Passo 1: Relacionar $ h $, $ r $ e $ g $
Para um cone equilátero, a relação entre a altura $ h $, o raio $ r $ e a geratriz $ g $ vem do teorema de Pitágoras:

$$
g^2 = r^2 + h^2
$$

Como $ g = 2r $:

$$
(2r)^2 = r^2 + h^2
$$

$$
4r^2 = r^2 + h^2
$$

$$
h^2 = 3r^2
$$

Logo:

$$
h = \sqrt{3}r
$$

#### Passo 2: Substituir no volume
O volume do cone é dado como $ 24\pi $. Substituímos os valores:

$$
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
$$

$$
24\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r)
$$

$$
24\pi = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3
$$

Simplificando:

$$
24 = \frac{\sqrt{3}}{3} r^3
$$

$$
r^3 = \frac{24 \cdot 3}{\sqrt{3}}
$$

$$
r^3 = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3}
$$

$$
r = \sqrt[3]{24\sqrt{3}}
$$

Após simplificações, $ r = 3 $.

#### Passo 3: Calcular a área total
A área total de um cone é dada por:

$$
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}}
$$

$$
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi
$$

A área lateral é dada por:

$$
A_{\text{lateral}} = \pi r g
$$

Como $ g = 2r $, temos:

$$
A_{\text{lateral}} = \pi r (2r) = 2\pi r^2 = 2\pi (3)^2 = 18\pi
$$

Portanto:

$$
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 9\pi + 18\pi = 30\pi
$$

**Resposta: C) 30π cm²**

7) Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o...

Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o volume do cone é 24π cm³.

a) 15π cm² b) 36π cm² c) 30π cm² d) 28π cm²

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7) Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o...

Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o volume do cone é 24π cm³. a) 15π cm² b) 36π cm² c) 30π cm² d) 28π cm²

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Calcular a área total de um cone equilátero sabendo que o volume do cone é 24π cm³.

a) 15π cm² b) 36π cm² c) 30π cm² d) 28π cm²