7. Encen MEC Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 m². De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

R$ 22,50
R$ 35,00
R$ 42,50
R$ 45,00

Question

7. Encen MEC Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 m². De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

R$ 22,50
R$ 35,00
R$ 42,50
R$ 45,00

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular as áreas das partes sombreadas e claras do vitral e depois multiplicar pelo custo por metro quadrado de cada material.

1. **Área do quadrado total**:
   - Lado do quadrado = 1 m.
   - Área total = $1 \times 1 = 1 \, \text{m}^2$.

2. **Área da parte clara (regiões ABPDA e BCDQB)**:
   - Os pontos $A$, $B$, $C$, e $D$ são médios dos lados, então os triângulos $ABP$ e $BCQ$ são congruentes.
   - A base de cada triângulo é metade do lado do quadrado, ou seja, $0,5 \, \text{m}$.
   - A altura dos triângulos $AP$ e $QC$ é $\frac{1}{4}$ do lado do quadrado, ou seja, $0,25 \, \text{m}$.
   - Área de um triângulo = $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 0,5 \times 0,25 = 0,0625 \, \text{m}^2$.
   - Como há 4 triângulos (ABP, BPD, CDQ, QDA), a área total dos triângulos = $4 \times 0,0625 = 0,25 \, \text{m}^2$.

3. **Área da parte sombreada**:
   - Área sombreada = Área total do quadrado - Área da parte clara
   - Área sombreada = $1 - 0,25 = 0,75 \, \text{m}^2$.

4. **Custo dos materiais**:
   - Custo da parte sombreada: $0,75 \, \text{m}^2 \times R\$30,00/\text{m}^2 = R\$22,50$.
   - Custo da parte clara: $0,25 \, \text{m}^2 \times R\$50,00/\text{m}^2 = R\$12,50$.

5. **Custo total**:
   - Custo total = $R\$22,50 + R\$12,50 = R\$35,00$.

**Resposta: R$ 35,00**

7. Encen MEC Para decorar a fachada de um edifício, um arqui...

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