7. Encontre todas as soluções do sistema
{ x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 - 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x5 = -2
x1 + 3x2 - x3 + 2x5 = -1 }

Question

7. Encontre todas as soluções do sistema
{ x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 - 7x5 = 14
 2x1 + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x5 = -2
 x1 + 3x2 - x3 + 2x5 = -1 }

Accepted Answer

Para resolver o sistema de equações lineares, podemos usar o método da eliminação gaussiana ou a forma escalonada reduzida. Vamos começar escrevendo o sistema em forma de matriz aumentada:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 \
2 & 6 & 1 & -2 & 5 & | & -2 \
1 & 3 & -1 & 0 & 2 & | & -1
\end{bmatrix}
$$

Vamos aplicar operações elementares para escalonar a matriz:

1. Subtraia a linha 1 da linha 3:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 \
2 & 6 & 1 & -2 & 5 & | & -2 \
0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15
\end{bmatrix}
$$

2. Subtraia 2 vezes a linha 1 da linha 2:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 \
0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 \
0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15
\end{bmatrix}
$$

3. Troque a linha 2 com a linha 3:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 \
0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15 \
0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30
\end{bmatrix}
$$

4. Subtraia a linha 2 da linha 3:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 \
0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15 \
0 & 0 & 0 & -5 & 10 & | & -15
\end{bmatrix}
$$

Agora temos o sistema escalonado. Podemos expressar as variáveis em termos dos parâmetros:

- Da terceira linha: $ -5x_4 + 10x_5 = -15 $ \
  $ x_4 = 2x_5 + 3 $

- Da segunda linha: $ -3x_3 - 3x_4 + 9x_5 = -15 $ \
  Substituindo $ x_4 = 2x_5 + 3 $: \
  $ -3x_3 - 3(2x_5 + 3) + 9x_5 = -15 $ \
  $ -3x_3 - 6x_5 - 9 + 9x_5 = -15 $ \
  $ -3x_3 + 3x_5 = -6 $ \
  $ x_3 = x_5 + 2 $

- Da primeira linha: $ x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 3x_4 - 7x_5 = 14 $ \
  Substituindo $ x_3 = x_5 + 2 $ e $ x_4 = 2x_5 + 3 $: \
  $ x_1 + 3x_2 + 2(x_5 + 2) + 3(2x_5 + 3) - 7x_5 = 14 $ \
  $ x_1 + 3x_2 + 2x_5 + 4 + 6x_5 + 9 - 7x_5 = 14 $ \
  $ x_1 + 3x_2 + x_5 + 13 = 14 $ \
  $ x_1 + 3x_2 + x_5 = 1 $ \
  $ x_1 = -3x_2 - x_5 + 1 $

Portanto, a solução geral do sistema é:

$$
\begin{align*}
x_1 &= -3x_2 - x_5 + 1 \
x_2 &= x_2 \
x_3 &= x_5 + 2 \
x_4 &= 2x_5 + 3 \
x_5 &= x_5
\end{align*}
$$

onde $ x_2 $ e $ x_5 $ são parâmetros livres.

7. Encontre todas as soluções do sistema { x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 - 7x5 = 14 2x1 + 6x2 + x3 - 2x4 + 5x5 = -2 x1 + 3x2 - x3 + 2x5 = -1 }