7 Sobre uma mesa plana de formato retangular, um arquiteto montou a maquete de um projeto de construção de um edifício. Sabendo que a superfície dessa mesa tem 52 dm de perímetro e área igual a 144 dm², determine suas dimensões.
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Question

7 Sobre uma mesa plana de formato retangular, um arquiteto montou a maquete de um projeto de construção de um edifício. Sabendo que a superfície dessa mesa tem 52 dm de perímetro e área igual a 144 dm², determine suas dimensões.

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Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as fórmulas do perímetro e da área de um retângulo.

Seja $ l $ o comprimento e $ w $ a largura do retângulo. Temos duas equações:

1. Perímetro: $ 2l + 2w = 52 $
2. Área: $ lw = 144 $

Primeiro, simplificamos a equação do perímetro:

$$
l + w = 26
$$

Agora, expressamos $ l $ em termos de $ w $:

$$
l = 26 - w
$$

Substituímos essa expressão na equação da área:

$$
(26 - w)w = 144
$$

Expandindo e rearranjando a equação, temos:

$$
w^2 - 26w + 144 = 0
$$

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$
w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

onde $ a = 1 $, $ b = -26 $ e $ c = 144 $.

Calculando o discriminante ($ \Delta $):

$$
\Delta = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 676 - 576 = 100
$$

Agora, calculamos os valores de $ w $:

$$
w = \frac{26 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{26 \pm 10}{2}
$$

Assim, temos duas soluções:

$$
w_1 = \frac{26 + 10}{2} = 18
$$
$$
w_2 = \frac{26 - 10}{2} = 8
$$

Portanto, as dimensões do retângulo são:

- Comprimento ($ l $): 18 dm ou 8 dm
- Largura ($ w $): 8 dm ou 18 dm

As dimensões são $ 18 \, \text{dm} \times 8 \, \text{dm} $.