7. (Upe 2015) Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou R$ 16.500,00. A primeira microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de R$ 350,00; a segunda doou R$ 50,00 a mais que a primeira, e cada uma das microempresas seguintes doou R$ 50,00 a mais que a anterior.
Quantas microempresas participaram dessa campanha?
a) 08 b) 11 c) 15

Question

7. (Upe 2015) Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou R$ 16.500,00. A primeira microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de R$ 350,00; a segunda doou R$ 50,00 a mais que a primeira, e cada uma das microempresas seguintes doou R$ 50,00 a mais que a anterior.
Quantas microempresas participaram dessa campanha?
a) 08  b) 11  c) 15

Accepted Answer

Para resolver o problema, podemos usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética (PA).

A soma $ S_n $ dos termos de uma PA é dada por:

$$ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) $$

Onde:
- $ n $ é o número de termos,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ a_n $ é o último termo.

No caso, sabemos que:
- $ a_1 = 350 $
- A diferença comum $ d = 50 $
- $ S_n = 16500 $

O termo geral de uma PA é dado por:

$$ a_n = a_1 + (n-1) \times d $$

Substituindo na fórmula da soma:

$$ 16500 = \frac{n}{2} \times (350 + (350 + (n-1) \times 50)) $$

Simplificando:

$$ 16500 = \frac{n}{2} \times (700 + 50n - 50) $$
$$ 16500 = \frac{n}{2} \times (650 + 50n) $$
$$ 16500 = \frac{n}{2} \times (50n + 650) $$
$$ 33000 = n \times (50n + 650) $$
$$ 33000 = 50n^2 + 650n $$

Resolvendo a equação quadrática:

$$ 50n^2 + 650n - 33000 = 0 $$

Dividindo todos os termos por 50:

$$ n^2 + 13n - 660 = 0 $$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Com $ a = 1 $, $ b = 13 $, $ c = -660 $:

$$ n = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \times 1 \times (-660)}}{2 \times 1} $$
$$ n = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 2640}}{2} $$
$$ n = \frac{-13 \pm \sqrt{2809}}{2} $$
$$ n = \frac{-13 \pm 53}{2} $$

As soluções são:

$$ n = \frac{40}{2} = 20 $$
$$ n = \frac{-66}{2} = -33 $$ (não faz sentido)

Portanto, **o número de microempresas é 20**.

Nenhuma das alternativas está correta, mas a solução é 20.