72. Na figura abaixo, ABC é um triângulo inscrito em um semicirculo de centro em O e raio igual a 10. O segmento AD é a altura do triângulo ABC relativa ao vértice A. Tomando x como a medida do segmento BD, considera A(x) a função que expressa a área do triângulo ABC em função de x.

Com base na figura, entre as alternativas, para x ∈ [0,20], A(x) é

(A) A(x) = 20√(20x - x²).
(B) A(x) = 10√(10 - x²).
(C) A(x) = 10√(20x - x²).
(D) A(x) = 20√(10 - x²).
(E) A(x) = 10√(20 - x²).

Question

72. Na figura abaixo, ABC é um triângulo inscrito em um semicirculo de centro em O e raio igual a 10. O segmento AD é a altura do triângulo ABC relativa ao vértice A. Tomando x como a medida do segmento BD, considera A(x) a função que expressa a área do triângulo ABC em função de x.

Com base na figura, entre as alternativas, para x ∈ [0,20], A(x) é

(A) A(x) = 20√(20x - x²).
(B) A(x) = 10√(10 - x²).
(C) A(x) = 10√(20x - x²).
(D) A(x) = 20√(10 - x²).
(E) A(x) = 10√(20 - x²).

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar a expressão para a área do triângulo $ABC$ em função de $x$.

1. **Identificar as dimensões:**
   - O raio do semicírculo é 10.
   - O segmento $OC = 10$.
   - A altura $AD$ é perpendicular à base $BC$.

2. **Calcular a altura $AD$:**
   - Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $AOD$:
     $$
     AD = \sqrt{AO^2 - OD^2} = \sqrt{10^2 - x^2} = \sqrt{100 - x^2}
     $$

3. **Calcular a base $BC$:**
   - Como $OC = 10$ e $OB = 10$, então $BC = OB + OC = 20$.

4. **Expressão da área $A(x)$:**
   - A área do triângulo $ABC$ é dada por:
     $$
     A(x) = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 20 \times \sqrt{100 - x^2} = 10\sqrt{100 - x^2}
     $$

Portanto, a alternativa correta é:

**Resposta: C**

$$ A(x) = 10\sqrt{20x - x^2} $$

72. Na figura abaixo, ABC é um triângulo inscrito em um semi...

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