8.1-2 Determine a taxa de amostragem de Nyquist e o intervalo de amostragem de Nyquist para os sinais
(a) $ \operatorname{sinc}^{2}(100 \pi t) $
(b) $ 0,01 \operatorname{sinc}^{2}(100 \pi t) $
(c) $ \operatorname{sinc}(100 \pi t)+3 \operatorname{sinc}^{2}(60 \pi t) $
(d) $ \operatorname{sinc}(50 \pi t) \operatorname{sinc}(100 \pi t) $

Question

Accepted Answer

Para determinar a taxa de amostragem de Nyquist e o intervalo de amostragem de Nyquist para cada um dos sinais, primeiro precisamos entender o que é a função $ \operatorname{sinc}(x) $ e como ela se relaciona com a frequência máxima do sinal.

A função $ \operatorname{sinc}(x) $ é definida como $ \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ para $ x \neq 0 $, e $ \operatorname{sinc}(0) = 1 $. Quando usada em contextos de processamento de sinais, $ x $ é tipicamente da forma $ \pi f t $, onde $ f $ é a frequência do sinal e $ t $ é o tempo.

A taxa de amostragem de Nyquist é o dobro da frequência máxima presente no sinal, denotada por $ f_s = 2f_{\text{máx}} $, onde $ f_{\text{máx}} $ é a frequência máxima. O intervalo de amostragem de Nyquist, denotado por $ T $, é o inverso da taxa de amostragem de Nyquist, ou seja, $ T = \frac{1}{f_s} $.

Vamos resolver cada item:

### (a) $ \operatorname{sinc}^{2}(100 \pi t) $

A frequência máxima, $ f_{\text{máx}} $, é $ 100 $ Hz, pois o argumento da função $ \operatorname{sinc} $ é $ 100 \pi t $, indicando uma frequência de $ 100 $ Hz.

- Taxa de amostragem de Nyquist: $ f_s = 2 \times 100 = 200 $ Hz.
- Intervalo de amostragem de Nyquist: $ T = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{200} $ segundos.

### (b) $ 0,01 \operatorname{sinc}^{2}(100 \pi t) $

A presença do coeficiente $ 0,01 $ não altera a frequência do sinal, logo, a frequência máxima permanece $ 100 $ Hz.

- Taxa de amostragem de Nyquist: $ f_s = 2 \times 100 = 200 $ Hz.
- Intervalo de amostragem de Nyquist: $ T = \frac{1}{200} $ segundos.

### (c) $ \operatorname{sinc}(100 \pi t)+3 \operatorname{sinc}^{2}(60 \pi t) $

Aqui, temos duas frequências: $ 100 $ Hz e $ 60 $ Hz. A frequência máxima é $ 100 $ Hz.

- Taxa de amostragem de Nyquist: $ f_s = 2 \times 100 = 200 $ Hz.
- Intervalo de amostragem de Nyquist: $ T = \frac{1}{200} $ segundos.

### (d) $ \operatorname{sinc}(50 \pi t) \operatorname{sinc}(100 \pi t) $

Neste caso, temos um produto de duas funções $ \operatorname{sinc} $, com frequências de $ 50 $ Hz e $ 100 $ Hz. A frequência máxima aqui ainda é $ 100 $ Hz, pois estamos interessados na maior frequência que precisa ser amostrada.

- Taxa de amostragem de Nyquist: $ f_s = 2 \times 100 = 200 $ Hz.
- Intervalo de amostragem de Nyquist: $ T = \frac{1}{200} $ segundos.

Portanto, para todos os sinais dados, a taxa de amostragem de Nyquist é $ 200 $ Hz, e o intervalo de amostragem de Nyquist é $ \frac{1}{200} $ segundos.

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