8 – Calcule o valor da expressão: sen 15° + cos 75°.

Q: 8 – Calcule o valor da expressão: sen 15° + cos 75°.

Para calcular o valor da expressão $ \sin 15^\circ + \cos 75^\circ $, podemos usar identidades trigonométricas conhecidas: Sabemos que: \[ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Substituindo, temos: \[ \sin 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] E para $\cos 75^\circ$: \[ \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \] Substituindo, temos: \[ \cos 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Portanto, a soma é: \[ \sin 15^\circ + \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \]

Question

Accepted Answer

Para calcular o valor da expressão $ \sin 15^\circ + \cos 75^\circ $, podemos usar identidades trigonométricas conhecidas:

Sabemos que:
$$
\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ
$$

$$
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
$$

Substituindo, temos:
$$
\sin 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)
$$
$$
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
$$
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$

E para $\cos 75^\circ$:
$$
\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
$$

Substituindo, temos:
$$
\cos 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)
$$
$$
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
$$
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$

Portanto, a soma é:
$$
\sin 15^\circ + \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
$$
= \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}
$$
$$
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}
$$

8 – Calcule o valor da expressão: sen 15° + cos 75°.

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