8. Considere x e y números reais inteiros positivos, tais que:

x - y = 7 e x²y - xy² = 210

O valor de xy é igual a

(A) 7.
(B) 10.
(C) 30.
(D) 37.

Q: 8. Considere x e y números reais inteiros positivos, tais que: x - y = 7 e x²y - xy² = 210 O valor de xy é igual a (A) 7. (B) 10. (C) 30. (D) 37.

Para resolver o problema, temos duas equações: 1. $ x - y = 7 $ 2. $ x^2y - xy^2 = 210 $ Vamos manipular essas equações para encontrar o valor de $ xy $. Da primeira equação, podemos expressar $ x $ em termos de $ y $: \[ x = y + 7 \] Substituímos na segunda equação: \[ (y + 7)^2 y - (y + 7)y^2 = 210 \] Expanda e simplifique: \[ (y^2 + 14y + 49)y - (y^3 + 7y^2) = 210 \] \[ y^3 + 14y^2 + 49y - y^3 - 7y^2 = 210 \] \[ 7y^2 + 49y = 210 \] Divida toda a equação por 7: \[ y^2 + 7y = 30 \] Fatorando, obtemos: \[ y(y + 7) = 30 \] As soluções inteiras positivas para $ y $ são aquelas que satisfazem essa equação. Testando valores, encontramos que: Se $ y = 3 $, então $ y + 7 = 10 $, e $ 3 \times 10 = 30 $. Portanto, $ y = 3 $ e $ x = y + 7 = 10 $. Assim, o valor de $ xy = 10 \times 3 = 30 $. **Resposta: C**

Question

8. Considere x e y números reais inteiros positivos, tais que:

x - y = 7 e x²y - xy² = 210

O valor de xy é igual a

(A) 7.
(B) 10.
(C) 30.
(D) 37.

Accepted Answer

Para resolver o problema, temos duas equações:

1. $ x - y = 7 $
2. $ x^2y - xy^2 = 210 $

Vamos manipular essas equações para encontrar o valor de $ xy $.

Da primeira equação, podemos expressar $ x $ em termos de $ y $:

$$ x = y + 7 $$

Substituímos na segunda equação:

$$ (y + 7)^2 y - (y + 7)y^2 = 210 $$

Expanda e simplifique:

$$ (y^2 + 14y + 49)y - (y^3 + 7y^2) = 210 $$

$$ y^3 + 14y^2 + 49y - y^3 - 7y^2 = 210 $$

$$ 7y^2 + 49y = 210 $$

Divida toda a equação por 7:

$$ y^2 + 7y = 30 $$

Fatorando, obtemos:

$$ y(y + 7) = 30 $$

As soluções inteiras positivas para $ y $ são aquelas que satisfazem essa equação. Testando valores, encontramos que:

Se $ y = 3 $, então $ y + 7 = 10 $, e $ 3 \times 10 = 30 $.

Portanto, $ y = 3 $ e $ x = y + 7 = 10 $.

Assim, o valor de $ xy = 10 \times 3 = 30 $.

**Resposta: C**

8. Considere x e y números reais inteiros positivos, tais qu...

Considere x e y números reais inteiros positivos, tais que:

x - y = 7 e x²y - xy² = 210

O valor de xy é igual a

(A) 7. (B) 10. (C) 30. (D) 37.

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