8. Crescimento logístico: As populações animais não são capazes de crescer irrestritamente porque a disponibilidade de habitat e de alimentos é limitada. Nestas condições, a população segue um modelo de crescimento logístico:
$$
P(t)=\frac{d}{1+k e^{-c t}}
$$
onde $ c, d $, e $ k $ são constantes positivas. Para uma determinada população de peixes em um pequeno lago, $ d=1200, k=11, c=0.2 \mathrm{e} t $ são medidos em anos. Os peixes foram introduzidos no viveiro no tempo $ t=0 $.
a) Quantos peixes foram originalmente introduzidos no lago?

Question

Accepted Answer

Para encontrar o número de peixes originalmente introduzidos no lago, precisamos calcular $P(0)$, ou seja, o valor da população $P(t)$ no tempo $t=0$. Substituindo $d=1200$, $k=11$, $c=0.2$ e $t=0$ na fórmula do crescimento logístico, temos:

$$
P(0)=\frac{1200}{1+11e^{-0.2 \cdot 0}}
$$

Como $e^0 = 1$, a expressão se simplifica para:

$$
P(0)=\frac{1200}{1+11 \cdot 1}
$$

$$
P(0)=\frac{1200}{12}
$$

$$
P(0)=100
$$

Portanto, originalmente foram introduzidos 100 peixes no lago.