8. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a $ 6 \mathrm{~m} $ e $ 4 \mathrm{~m} $. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos $ \overline{A C} $ e $ \overline{B D} $ e a haste é representada pelo segmento $ \overline{E F} $, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta $ \overline{A B} $. Os segmentos $ \overline{A D} $ e $ \overline{B C} $ representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste $ \overline{E F} $ ?
a) $ 1 \mathrm{~m} $
d) $ 3 \mathrm{~m} $
b) $ 2 \mathrm{~m} $
e) $ 2 \sqrt{6} \mathrm{~m} $
c) $ 2,4 \mathrm{~m} $

Question

8. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a $ 6 \mathrm{~m} $ e $ 4 \mathrm{~m} $. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos $ \overline{A C} $ e $ \overline{B D} $ e a haste é representada pelo segmento $ \overline{E F} $, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta $ \overline{A B} $. Os segmentos $ \overline{A D} $ e $ \overline{B C} $ representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste $ \overline{E F} $ ?
a) $ 1 \mathrm{~m} $
d) $ 3 \mathrm{~m} $
b) $ 2 \mathrm{~m} $
e) $ 2 \sqrt{6} \mathrm{~m} $
c) $ 2,4 \mathrm{~m} $

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos usar os conceitos de geometria e trigonometria. A descrição sugere que temos dois triângulos retângulos semelhantes, com os segmentos $AD$ e $BC$ como hipotenusas, $AC = 6 \, \mathrm{m}$ e $BD = 4 \, \mathrm{m}$ como catetos opostos, e a haste $EF$ como o outro cateto para ambos os triângulos.

Como os triângulos são semelhantes e compartilham a haste $EF$, podemos usar a semelhança de triângulos para encontrar a relação entre os lados. No entanto, a informação mais direta que podemos utilizar é que os triângulos formados pelos postes e a haste são retângulos, e podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

Primeiro, vamos considerar que o solo $AB$ pode ser dividido em duas partes: $x$ sob $AC$ e $y$ sob $BD$, de forma que $x+y$ seja o comprimento total de $AB$. Não precisamos desse valor exato, pois estamos interessados na altura $EF$.

Agora, observando o triângulo formado por $AC$, $CE$, e $AE$, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
$$AC^2 = AE^2 + CE^2$$
$$6^2 = x^2 + EF^2$$
$$36 = x^2 + EF^2$$
(1)

E no triângulo formado por $BD$, $DE$, e $BE$:
$$BD^2 = BE^2 + DE^2$$
$$4^2 = y^2 + EF^2$$
$$16 = y^2 + EF^2$$
(2)

A diferença entre as equações (1) e (2) elimina a variável $EF^2$, mas precisamos de uma maneira de conectar $x$ e $y$ diretamente à haste $EF$. No entanto, percebemos que a abordagem inicial pode ser simplificada ao observar que não precisamos separar $AB$ em $x$ e $y$.

Vamos reconsiderar nossa estratégia: a chave aqui é perceber que, sem as medidas de $AB$, $AD$, e $BC$, não podemos aplicar diretamente o Teorema de Pitágoras como inicialmente proposto. Precisamos de uma relação que nos permita calcular $EF$ diretamente.

Dado que a informação fornecida não especifica a distância entre os postes e que a abordagem inicial assumiu erroneamente que precisávamos dessa informação, o correto é focar na relação entre as alturas dos postes e a haste $EF$. Sem a distância horizontal $AB$ ou os comprimentos dos cabos $AD$ e $BC$, não podemos aplicar diretamente o Teorema de Pitágoras ou semelhança de triângulos como inicialmente tentado.

Assim, sem informações adicionais sobre a distância entre os postes ou os comprimentos dos cabos de aço, a questão parece estar mal formulada ou faltando dados críticos para calcular o comprimento da haste $EF$ usando métodos geométricos padrão.

Entretanto, se a intenção era que $EF$ conectasse os pontos médios dos postes $AC$ e $BD$, então deveríamos calcular a diferença de altura entre os postes e usar isso como base para encontrar o comprimento de $EF$. Mas sem uma clara indicação da distância entre $AC$ e $BD$ ou sem entender completamente a configuração dos cabos de aço, qualquer tentativa de solução seria especulativa.

Por favor, forneça mais detalhes ou esclareça a configuração do problema para que possamos oferecer uma solução precisa.

8. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de s...

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