8. (Fgv 2016) Um dos fatores do polinômio P(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 é (x + 3). Outro fator desse polinômio é
a) (x + 8)
b) (x - 5)
c) (x + 4)
d) (x - 1)
e) (x + 1)

Q: 8. (Fgv 2016) Um dos fatores do polinômio P(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 é (x + 3). Outro fator desse polinômio é a) (x + 8) b) (x - 5) c) (x + 4) d) (x - 1) e) (x + 1)

Para encontrar outro fator do polinômio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$, sabendo que $(x + 3)$ é um fator, podemos realizar a divisão polinomial de $P(x)$ por $(x + 3)$. Realizando a divisão: 1. Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: \[ \frac{x^3}{x} = x^2 \] 2. Multiplique o divisor $(x + 3)$ por $x^2$: \[ x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 \] 3. Subtraia do dividendo: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6 \] 4. Repita o processo com $-x^2$: \[ \frac{-x^2}{x} = -x \] 5. Multiplique o divisor por $-x$: \[ -x(x + 3) = -x^2 - 3x \] 6. Subtraia: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6 \] 7. Repita o processo com $-2x$: \[ \frac{-2x}{x} = -2 \] 8. Multiplique o divisor por $-2$: \[ -2(x + 3) = -2x - 6 \] 9. Subtraia: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0 \] O quociente é $x^2 - x - 2$. Agora, vamos fatorar $x^2 - x - 2$: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Portanto, outro fator do polinômio é $(x + 1)$. **Resposta: e) (x + 1)**

Question

Accepted Answer

Para encontrar outro fator do polinômio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$, sabendo que $(x + 3)$ é um fator, podemos realizar a divisão polinomial de $P(x)$ por $(x + 3)$.

Realizando a divisão:

1. Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 
   $$
   \frac{x^3}{x} = x^2
   $$
2. Multiplique o divisor $(x + 3)$ por $x^2$:
   $$
   x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2
   $$
3. Subtraia do dividendo:
   $$
   (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6
   $$
4. Repita o processo com $-x^2$:
   $$
   \frac{-x^2}{x} = -x
   $$
5. Multiplique o divisor por $-x$:
   $$
   -x(x + 3) = -x^2 - 3x
   $$
6. Subtraia:
   $$
   (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6
   $$
7. Repita o processo com $-2x$:
   $$
   \frac{-2x}{x} = -2
   $$
8. Multiplique o divisor por $-2$:
   $$
   -2(x + 3) = -2x - 6
   $$
9. Subtraia:
   $$
   (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0
   $$

O quociente é $x^2 - x - 2$. Agora, vamos fatorar $x^2 - x - 2$:

$$
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
$$

Portanto, outro fator do polinômio é $(x + 1)$.

**Resposta: e) (x + 1)**