8. (G1 - cp2 2017) Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em A e D, respectivamente. Sabe-se que AC = 15 cm, AD = 16 cm e BD = 12 cm.
A área do triângulo ABE é de
a) 100 cm².
b) 96 cm².
c) 75 cm².
d) 60 cm².

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar a área do triângulo $ABE$.

Os triângulos $ABC$ e $ABD$ são retângulos em $A$ e $D$, respectivamente. Sabemos que $AC = 15 \, \text{cm}$, $AD = 16 \, \text{cm}$, e $BD = 12 \, \text{cm}$.

Primeiro, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar $AB$:

No triângulo $ABD$:
$$
AB^2 = AD^2 + BD^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400
$$
$$
AB = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm}
$$

Agora, vamos calcular a área do triângulo $ABE$. Como $E$ é um ponto entre $A$ e $B$, e $DE$ é perpendicular a $AB$, podemos considerar $DE$ como a altura relativa à base $AB$.

Como $D$ é um ponto na hipotenusa, o triângulo $ADE$ é semelhante ao triângulo $ABD$, então podemos usar uma relação de semelhança para encontrar $DE$:

A razão entre os catetos $DE$ e $BD$ é a mesma que entre os catetos $AD$ e $AB$:
$$
\frac{DE}{BD} = \frac{AD}{AB}
$$
$$
\frac{DE}{12} = \frac{16}{20}
$$
$$
DE = \frac{16 \cdot 12}{20} = 9.6 \, \text{cm}
$$

Agora calculamos a área do triângulo $ABE$:
$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 20 \times 9.6 = 96 \, \text{cm}^2
$$

**Resposta: b) 96 cm²**

8. (G1 - cp2 2017) Na figura a seguir, os triângulos ABC e A...

(G1 - cp2 2017) Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em A e D, respectivamente. Sabe-se que AC = 15 cm, AD = 16 cm e BD = 12 cm. A área do triângulo ABE é de a) 100 cm². b) 96 cm². c) 75 cm². d) 60 cm².

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